Určte vnútorné uhly trojuholníka $ABC$, ak je dané $b=2\,\mathrm{cm}$, $a=1{,}7\,\mathrm{cm}$ a $\alpha=30^\circ$. (Predpokladáme, že uhly označené $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ležia postupne oproti stranám $a$, $b$, $c$.)
Riešenie študenta Petra:
(1) Peter použil sínusovú vetu: $$\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\alpha}{a}$$
(2) Dosadil hodnoty a dostal: $$\frac{\sin\beta}{2}=\frac{\sin 30^\circ}{1{,}7}$$
(3) Keďže $\sin 30^\circ=\frac12$, dostal: $$\sin\beta=\frac{10}{17}$$
(4) Pomocou kalkulačky zistil, že rovnica $\sin\beta=\frac{10}{17}$ má jediné riešenie, a to: $$\beta=36^\circ$$
(5) Potom vypočítal posledný vnútorný uhol trojuholníka: $$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \implies \gamma=180^\circ - 30^\circ-36^\circ=114^\circ$$
(6) Nakoniec napísal všetky vnútorné uhly trojuholníka $ABC$: $$\alpha=30^\circ,\, \beta=36^\circ,\, \gamma=114^\circ$$
V jednom z krokov urobil Peter chybu. Nájdite túto chybu.
Chyba je v kroku (4). Uhol $\beta=36^\circ$ nie je jediným riešením rovnice $\sin\beta=\frac{10}{17}$.
Chyba je v kroku (1). Sínusová veta nie je uvedená správne.
Chyba je v kroku (3). Správne by malo byť, že $\sin\beta= \frac{\sqrt3}{1{,}7}$.
Chyba je v kroku (3). Platí $\sin\beta=\frac{10}{17}\cdot\frac14=\frac{5}{34}$.
Chyba je v kroku (4). Uhol $\beta=36^\circ$ nie je jediným riešením rovnice $\sin\beta=\frac{10}{17}$. Zadaniu vyhovuje aj tupý uhol $\beta=144^\circ$. Riešením sú teda dva trojuholníky. Jeden má vnútorné uhly $\alpha=30^\circ$, $\beta=36^\circ$, $\gamma=114^\circ$, druhý má vnútorné uhly $\alpha=30^\circ$, $\beta=144^\circ$, $\gamma=6^\circ$.