Traja študenti riešili nerovnicu: $$ 2x^2+12x+20 \geq 0 $$
Lukáš si pamätal, že $(x+6)^2=x^2+12x+36$ a tak nerovnicu prepísal do tvaru: $$ (x+6)^2-36+20 \geq 0 $$ Potom ju vyriešil takto: $$ \begin{align} (x+6)^2 \geq 16 \cr x+6 \geq 4 \cr x\geq-2 \end{align} $$ Adam sa rozhodol určiť diskriminant kvadratického polynómu: $$ D=12^2-4\cdot 2 \cdot 20=-16 $$ Diskriminant mu vyšiel záporný, z čoho usúdil, že nerovnica nemá riešenie.
Eva tiež zistila, že diskriminant je záporný, preto sa rozhodla nakresliť graf kvadratickej funkcie $f(x)=2x^2+12x+20$. Vedela, že graf je parabola a určila jej vrchol pomocou metódy úpravy na štvorec: $$ \begin{align} 2(x^2+6x+9)-9\cdot 2+20 \geq 0 \cr 2(x+3)^2+2 \geq 0 \cr V=(-3;-2) \end{align} $$ Teraz uvažovala takto: Vrchol paraboly leží pod osou $x$, diskriminant kvadratického trojčlena je záporný, takže to znamená, že parabola sa otvára smerom nadol a funkcia nemôže nadobúdať kladné hodnoty. Daná nerovnosť nemá riešenie.
Ktorý z nich postupoval pri riešení správne?
Nikto z nich.
Eva
Lukáš
Adam
Doplnením na štvorec dostaneme: $$ 2(x+3)^2+2\geq0 $$ Súradnice vrcholu paraboly sú: $x=-3$, $y=2$, ale nie je potrebné ich určovať. Stačia ďalšie dve informácie: Diskriminant kvadratického trojčlenu je záporný, čo znamená, že parabola nemá priesečníky s osou $x$. Koeficient kvadratického člena je kladný ($a=2$), takže parabola sa otvára smerom nahor. To všetko spolu znamená, že kvadratická funkcia nadobúda len kladné hodnoty a riešením danej nerovnice sú všetky $x \in \mathbb{R}$.