Barbora sa pokúsila vypočítať $$\cos465^{\circ}$$ bez použitia kalkulačky. Postupovala takto: \begin{aligned} \cos465^{\circ}&\stackrel{(1)}=\cos\left(360^{\circ}+105^{\circ}\right)\stackrel{(2)}=\cr &\stackrel{(2)}=\cos105^{\circ}\stackrel{(3)}=\cos60^{\circ}+\cos45^{\circ}\stackrel{(4)}=\cr &\stackrel{(4)}=\frac12+\frac{\sqrt2}{2}\stackrel{(5)}=\frac{1+\sqrt2}{2} \end{aligned} Urobila Barbora vo svojom riešení chybu? Ak áno, uveďte, v ktorom kroku.
Nie. Barbora riešila úlohu správne.
Áno. Chyba je v kroku (2). Správne zjednodušenie by malo byť: $$\cos\left(360^{\circ}+105^{\circ}\right)=1+\cos105^{\circ}$$
Áno. Chyba je v kroku (3). Malo by to byť: $$\cos105^{\circ}=\cos60^{\circ}\cos45^{\circ}-\sin60^{\circ}\sin45^{\circ}$$
Áno. Chyba je v kroku (4). Malo by to byť: $$\cos60^{\circ}+\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}$$
Barbora urobila chybu v kroku (3). Mala použiť súčtový vzorec: $$\cos(x+y)=\cosx\cosy-\sinx\siny.$$ Správne riešenie: \begin{aligned} \cos465^{\circ}&=\cos\left(360^{\circ}+105^{\circ}\right)=\cos105^{\circ}=\cr &=\cos\left(60^{\circ}+45^{\circ}\right)=\cos60^{\circ}\cos45^{\circ}-\sin60^{\circ}\sin45^{\circ}=\cr &=\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{4}\left(1-\sqrt3\right) \end{aligned}