Paula została poproszona o skonstruowanie jednego trójkąta $ABC$ który spełnia następujące warunki: $a =|BC|=6\,\mathrm{cm}$, $\alpha =|\measuredangle BAC|=50^{\circ}$, $t_a=4\,\mathrm{cm}$ (where $t_a$jest medianą do boku $a$).
Postępowała w następujący sposób (patrz zdjęcie):
(1) Narysowała odcinek linii $BC$ o długości $6\,\mathrm{cm}$.
(2) Znalazła punkt środkowy $S_a$ odcinka linii $BC$ i stwierdził, że punkt ten należy do mediany $t_a$ trójkąta $ABC$.
(3) Skonstruowała okrąg $k$ o środku w punkcie $S_a$ o promieniu $t_a= 4\,\mathrm{cm}$ i stwierdziła, że pkt. $A$ należy do okręgu $k$.
(4) Obróciła punkt $C$ o pkt. $B$ o kąt $\alpha =50^{\circ}$w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i uzyskał punkt $C'$. Następnie skonstruowała linię $BC'$ i oznaczyła punkt, w którym przecina ona prostopadłą dwusieczną $o$ boku $BC$ jako punkt $S$.
(5) Skonstruowała zbiór punktów $M$, z których odcinek linii $BC$ jest widoczny pod kątem $\alpha = 50^{\circ}$. Zbiór ten tworzy wewnętrzne punkty pewnego łuku okręgu o środku $S$ i promieniu $|SB|$. Następnie stwierdziła, że punkt $A$ należy do zbioru $M$.
(6) Znalazła przecięcie zbioru $M$ i okręgu $k$, uzyskała dwa punkty, wybrała jeden z nich i oznaczyła go jako wierzchołek $A$.
(7) Ukończyła budowę trójkąta $ABC$.
Czy popełniła jakiś błąd? Jeśli tak, określ gdzie.
Tak, popełniła błąd w kroku (2). Punkt $S_a$ nie należy do mediany $t_a$ trójkąta $ABC$.
Tak, popełniła błąd w kroku (3). Punkt $A$ nie należy do okręgu $k$.
Tak, popełniła błąd w kroku (5). Punkt $A$ nie należy do zbioru $M$.
Tak, popełniła błąd w kroku (6). Niepoprawne jest wybranie dowolnego punktu z przecięcia zbioru $M$ z okręgiem $k$.
Nie, wszystkie kroki są prawidłowe.
Prawidłowa procedura jest następująca (patrz rysunek):
(1) Narysuj odcinek linii $BC$ długości $6\,\mathrm{cm}$.
(2) Znajdź punkt środkowy $S_a$ odcinka linii $BC$.
(3) Skonstruuj okrąg $k$ wyśrodkowany na $S_a$ o promieniu $t_a=4\,\mathrm{cm}$.
(4 ) Obróć punkt $C$ wokół punktu $B$ o kąt $\alpha =50^{\circ}$ w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, aby otrzymać punkt $C'$. Następnie skonstruuj półprostą $BC'$ oraz prostą $i$ prostopadłą do półprostej $BC'$ i przechodzącą przez punkt $B$. Na koniec zaznacz punkt przecięcia prostej $i$ i dwusiecznej prostopadłej $o$ boku $BC$ jako punkt $S$.
(5) Skonstruuj zbiór punktów $M$, z których odcinek $BC$ jest widoczny pod kątem $\alpha = 50^{\circ}$ (są to punkty wewnętrzne łuku okręgu o środku $S$ i promieniu $|SB|$).
(6) Znajdź punkty przecięcia zbioru $M$ i okręgu $k$ (istnieją dwa punkty). Wybierz jeden z nich i oznacz go jako wierzchołek $A$.
(7) Skonstruuj trójkąt $ABC$.
Wykorzystujemy fakt, że miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary odpowiadającego mu kąta wpisanego. Stąd, jeśli miara kąta wpisanego wynosi $50^{\circ}$, to odpowiadający mu kąt środkowy musi mierzyć $100^{\circ}$.
Uwaga: W nieprawidłowej konstrukcji Pauli kąt środkowy mierzyłby $80^{\circ}$, więc odpowiadający mu kąt wpisany mierzyłby $40^{\circ}$ (patrz zdjęcie poniżej).
