$\frac12=-\frac12$

Poniżej podano ciąg równości prowadzący do stwierdzenia $\frac12=-\frac12$, która jest oczywiście fałszywa. Jedna z tych równości jest niepoprawna. $$\frac12=\sin30^\circ\stackrel{(1)}=-\sin210^\circ\stackrel{(2)}=\sin150^\circ\stackrel{(3)}=-\cos120^\circ\stackrel{(4)}=\cos\left(-120^\circ\right)\stackrel{(5)}=-\cos60^\circ=-\frac12$$ Nauczyciel poprosił uczniów o uzasadnienie ważności każdego kroku. Oto ich komentarze:

Alice: Równość (1) zachodzi. Dla każdej liczby rzeczywistej $x$, $\sin ⁡x=-\sin\left(x+180^\circ\right)$. Dlatego kąty $30^\circ$ (z pierwszej ćwiartki) i $210^\circ$ (z trzeciej ćwiartki) mają przeciwne wartości sinusoidalne.

Ben: Równość (2) jest prawdziwa. Dla każdej liczby rzeczywistej $x$, $\sin⁡\left(180^\circ+x\right)=-\sin\left(180^\circ-x\right)$. Dlatego kąty $210^\circ$ (z trzeciej ćwiartki) i $150^\circ$ (z drugiej ćwiartki) mają przeciwne wartości funkcji sinus.

Daniel: Równość (3) zachowana.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$, $\sin x=\cos\left(x-90^\circ\right)$ .Dlatego, $\sin150^\circ=\cos⁡60^\circ$. Dla każdej liczby rzeczywistej $x$, $\cos ⁡x=-\cos\left(180^\circ-x\right)$. Dlatego kąty $60^\circ$ (z pierwszej ćwiartki) i $120^\circ$ (z drugiej ćwiartki) mają przeciwne wartości cosinusa, tj., $\cos 60^\circ=-\cos⁡120^\circ$.

Elena:Zachodzi równość (4). Dla każdej liczby rzeczywistej $x$, zachodzi następująca sytuacja: $-\cos ⁡x=\cos⁡\left(-x\right)$. Dlatego, $-\cos120^\circ=\cos\left(-120^0\right)$.

Filip: Równość (5) jest zachowana.

-Funkcja cosinus jest okresowa z okresem $360^\circ$. Dlatego, $\cos\left(-120^\circ\right)=\cos⁡240^\circ$. - Dla każdej liczby rzeczywistej $x$, $\cos x=-\cos\left(180^\circ+x\right)$. Dlatego kąty $60^\circ$ (z pierwszej ćwiartki) i $240^\circ$ (z trzeciej ćwiartki) mają przeciwne wartości cosinusa, tj., $\cos 240^\circ=-\cos 60^\circ$.

Kto nie ma racji?