Rozwiąż nierówność: $$\mathrm{tg}\left(x-\frac{3\pi}{8}\right)>1\ \mbox{ dla }x\in\mathbb{R}$$ Michael rozwiązał zadanie w następujących krokach:
(1) Stosując podstawienie $m=x-\frac{3\pi}{8}$, przepisał nierówność w postaci: $$\mathrm{tg}\, m>1$$ (2) Następnie rozwiązał równanie $\mathrm{tg}\, m=1$: $$m=\frac{\pi}{4}+k\cdot\pi,\ \mbox{ dla }k\in\mathbb{Z}$$ (3) Wyraził wynik w kategoriach niewiadomej $x$, uzyskanie rozwiązania równania $\mathrm{tg}\left(x-\frac{3\pi}{8}\right)=1$: $$x-\frac{3\pi}{8}=\frac{\pi}{4}+k\cdot\pi\Rightarrow x=\frac{5\pi}{8}+k\cdot\pi,\ \mbox{ dla }k\in\mathbb{Z}$$ (4) Następnie wyznaczył punkty, w których funkcja $\mathrm{tg}\left(x-\frac{3\pi}{8}\right)$ nie jest zdefiniowana: $$\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\frac{7\pi}{8}+k\cdot\pi\right\}$$ (5) Stwierdził, że funkcja styczna jest rosnąca, więc wartość funkcji $\mathrm{tg}\left(x-\frac{3\pi}{8}\right)$ będzie większa niż $1$ kiedy $x$ jest większa niż $\frac{5\pi}{8}$. Łącząc ten wynik z wynikiem uzyskanym w kroku (4), doszedł do wniosku: $$\mathrm{tg}\left(x-\frac{3\pi}{8}\right)>1\Leftrightarrow x >\frac{5\pi}{8}\ \mbox{ i } x\neq\frac{7\pi}{8}+k\cdot\pi,\ \mbox{ dla }k\in\mathbb{Z}$$
Stwierdził więc, że rozwiązaniem podanej nierówności jest: $$K=\left(\frac{5\pi}{8};+\infty\right)\backslash\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\frac{7\pi}{8}+k\cdot \pi\right\}$$ Rozwiązanie nie jest poprawne. W którym kroku Michał popełnił błąd?
Błąd występuje w kroku (1). W tym przypadku nie można użyć podstawienia.
Błąd występuje w kroku (2). Jedno rozwiązanie równania $\mathrm{tg}\, m=1$ to $m=\frac{\pi}{4}$ i okres podstawowy funkcji $\mathrm{tg}(m)$ to $2\pi$. Dlatego wszystkie rozwiązania są: $$m=\frac{\pi}{4}+2\cdot k\cdot\pi,\ \mbox{ dla }k\in\mathbb{Z}$$
Błąd występuje w kroku (3). Niewiadoma $x$ nie jest wyrażone poprawnie. Powinno być: $$x=-\frac{\pi}{8}+k\cdot\pi,\ \mbox{ dla }k\in\mathbb{Z}$$
Błąd występuje w kroku (4). Funkcja nie jest zdefiniowana dla: $$\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\frac{3\pi}{8}+k\cdot\pi\right\}$$
Błąd występuje w kroku (5). Funkcja nie jest rosnąca w całej dziedzinie. Funkcja styczna jest rosnąca tylko między każdymi dwoma sąsiednimi punktami, w których nie jest zdefiniowana.
Przedstawmy poprawne rozwiązanie. Funkcja nie jest określona w punktach:
$$\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\frac{7\pi}{8}+k\cdot\pi\right\}$$
Funkcja styczna jest okresowa i rosnąca między każdymi dwoma sąsiednimi punktami, w których nie jest zdefiniowana. Zatem:
$$\mathrm{tg}\left(x-\frac{3\pi}{8}\right)>1\Leftrightarrow x \in\left(\frac{5\pi}{8}+k\cdot\pi; \frac{7\pi}{8}+k\cdot\pi\right),\ \mbox{ dla } k\in\mathbb{Z}$$
Rozwiązanie nierówności $\mathrm{tg}\left(x-\frac{3\pi}{8}\right)>1$ można ostatecznie zapisać jako:
$$K=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{5\pi}{8}+k\cdot\pi; \frac{7\pi}{8}+k\cdot\pi\right)$$