Susan ma $\mathbf{20}$ cukierków: $\mathbf{12}$ o smaku truskawkowym i $\mathbf{8}$ o smaku cytrynowym. Daje Tony'emu $\mathbf{4}$ cukierki. Tony, entuzjasta matematyki, obliczył prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie 2 cukierków truskawkowych i 2 cytrynowych w losowym wyborze 4 cukierków.
(1)Po pierwsze, Tony obliczył, ile różnych wyborów $4$ cukierki mogą być wykonane z $20$. Są to kwartety nieuporządkowane i istnieją ${20\choose 4}=4\,845$ z nich.
(2) W następnym kroku obliczył, ile wyborów $2$ można przygotować cukierki truskawkowe. Wybiera pary spośród $12$ cukierki truskawkowe i są ${12\choose 2}=66$ takich par.
(3)Następnie Tony obliczył liczbę wybranych opcji $2$cukierki cytrynowe. Wybiera pary spośród wszystkich $8$ cukierki cytrynowe i są ${8\choose 2}=28$ takich par.
(4)Tony odkrył, że może wybrać $66$ pary cukierków truskawkowych i $28$pary cukierków cytrynowych. Całkowita liczba różnych kwartetów cukierków zawierających $2$ truskawkowe i $2$ cukierki cytrynowe to $66+28=94$.
(5) Zatem prawdopodobieństwo wybrania dokładnie kwartetu z $2$ truskawkowzch i $2$ cytrynowych cukierków spośród wszystkich cukierków jest $$\frac{94}{4\,845}\cong0{,}0194$$
Czy Tony popełnił błąd w swoim rozumowaniu? Jeśli tak, znajdź go!
Tony nie popełnił błędu. Rozwiązał zadanie bezbłędnie, jak prawdziwy entuzjasta matematyki!
Popełnił błąd już w kroku (1). Liczba możliwych wyborów $4$ cukierków z $20$ powinien zostać obliczony jako uporządkowany kwartet, czyli $20\cdot19\cdot18\cdot17=116\, 280$. Dlatego prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie $2$ cytrynowych i $2$ cukierków truskawkowych to: $$\frac{94}{116\,280}\cong0{,}0008$$
Tony popełnił błąd również w krokach (2) i (3). Przy dobieraniu par kolejność cukierków ma znaczenie. Liczba par cukierków truskawkowych powinna wynosić $12\cdot11=132$, a liczba par cukierków cytrynowych powinna wynosić $8\cdot7=56$.Prawidłowe prawdopodobieństwo to: $$\frac{188}{4\,845}\cong0{,}0388$$
Tony popełnił błąd w kroku (4). Liczba różnych kwartetów cukierków powinna wynosić $66\cdot28=1\,848$, a prawidłowe prawdopodobieństwo to: $$\frac{1\,848}{4\,845}\cong0{,}3814$$