Biorąc pod uwagę punkty $A=[-2; 3; 5]$, $B=[-1; 4; 4]$, $D=[-3; 5; 2]$, i $E=[2; 2; 3]$, określ objętość ostrosłupa trójkątnego $ABDE$ w równoległościanie $ABCDEFGH$ (graniastosłup ukośny o podstawie równoległoboku).
Mary rozwiązała ten problem w następujących krokach:.
(1) Najpierw napisała wzór na objętość ostrosłupa trójkątnego, wykorzystując iloczyn mieszany wektorów: $$V = \frac13\cdot\left|\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\, \right)\cdot\overrightarrow{c}\ \right|,$$ gdzie $\ \overrightarrow{a}$, $\ \overrightarrow{b}$, $\ \overrightarrow{c}\ $ są wektorami wyznaczonymi przez krawędzie piramidy.
(2) Następnie narysowała równoległobok $ABCDEFGH$, umieściła wektory $\ \overrightarrow{a}$, $\ \overrightarrow{b}$, i $\ \overrightarrow{c}\ $ na jego krawędziach,
i obliczyła ich współrzędne:
$$\begin{alignat}{4}
\overrightarrow{a} &=\overrightarrow{AB} &&= B – A &&&= &&&&(1\ ;1\ ;-1)\cr
\overrightarrow{b} &=\overrightarrow{AD} &&= D – A &&&= &&&&(-1; 2; -3)\cr
\overrightarrow{c} &=\overrightarrow{AE} &&= E – A &&&= &&&&(4; -1; -2)
\end{alignat}$$
(3) Następnie obliczyła $\ \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\ $ w następujący sposób: $$ \begin{array}{cccc} 1&-1&1&1\cr 2&-3&-1&2\cr \hline \end{array} $$
$$\begin{aligned}
\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}&=(1\cdot(-3)-2\cdot(-1); -1\cdot(-1)-(-3)\cdot1; 1\cdot2-(-1)\cdot1)\cr
\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}&=(-3 + 2; 1 + 3; 2 + 1)\cr
\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}&=(-1; 4; 3)
\end{aligned}$$
(4) Przystąpiła do oceny $\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\,\right)\cdot\overrightarrow{c}$ :
$\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\,\right)\cdot\overrightarrow{c} =(-1; 4; 3)\cdot(4; -1; -2) = -1 \cdot4 + 4 \cdot (-1) + 3 \cdot (-2) = -4 -4 -6 = -14$
(5) Na koniec znalazła objętość trójkątnej piramidy: $$V = \frac13\cdot|-14|=\frac13\cdot14 = \frac{14}{3}$$
Marry stwierdził, że objętość danego ostrosłupa wynosi $\frac{14}{3}$ jednostek sześciennych.
W rozwiązaniu Mary jest błąd. Gdzie Mary popełniła błąd?
Błąd występuje w kroku (1). Mary użyła niewłaściwego wzoru na objętość danego ostrosłupa.
Błąd znajduje się w kroku (2). Mary nieprawidłowo obliczyła współrzędne jednego z wektorów$\ \overrightarrow{a}$, $\ \overrightarrow{b}$, $\ \overrightarrow{c}$.
Błąd występuje w kroku (3). Mary nieprawidłowo obliczyła iloczyn wektorowy $\ \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$.
Błąd występuje w kroku (4). Mary nieprawidłowo oszacowała iloczyn mieszany $\left(\,\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\,\right)\cdot \overrightarrow{c}$.
Zastosowany wzór daje objętość ostrosłupa czworokątnego o podstawie równoległoboku (np. $ABCDE$)., Objętość piramidy trójkątnej (np. $ABDE$) to tylko połowa obliczonej objętości piramidy $ABCDE$ (pole podstawy piramidy o podstawie trójkąta $ABD$ jest połową pola podstawy ostrosłupa o podstawie równoległoboku$ABCD$). Dlatego prawidłowa formuła to: $$V = \frac16\cdot\left|\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\,\right)\cdot \overrightarrow{c}\ \right|$$ Objętość danego ostrosłupa wynosi$\frac73$ jednostek sześciennych: $$V = \frac16\cdot|-14|=\frac16\cdot14 = \frac73$$
