Długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną

Ewa, Alek i Ania rozwiązali następujące zadanie: W trójkącie prostokątnym $ABC$ miara kąta $ABC$ wynosi $30^{\circ}$. Pole trójkąta wynosi $2\sqrt3$. Znajdź długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną.

Wszyscy zaczęli od szkicowania obrazu:

i oznaczone $a=|BC|$, $b=|AC|$, $c=|AB|$, oraz $v=|CD|$.

Ewa wiedziała, że ​​wysokość do przeciwprostokątnej dzieli trójkąt na dwa podobne do siebie trójkąty: $$ \Delta ACD\sim \Delta CBD $$ Korzystając z podobieństwa trójkątów, kontynuowała: $$ \begin{gather} \frac{v}{a}=\frac{b}{v }\cr v^2=ab \end{gather} $$ Ponieważ pole trójkąta $$ P=\frac12 ab=2\sqrt3 $$ podstawiła $4\sqrt3$ zamiast $ab$ we wzorze na $v^2$ i otrzymała: $$ \begin{gather} v^2=4\sqrt3 \cr v=2\sqrt[4]{3} \end{gather} $$

Alek użył funkcji sinus: $$ \begin{gather} \sin ⁡30^{\circ}=\frac{b}{c} \cr b=\frac12 c \end{gather} $$ Następnie wyraził pole trójkąta $$ P=\frac12 bc \sin ⁡60^{\circ} $$ i dostał $$ \begin{gather} 2 \sqrt3= \frac12 \left(\frac12 c\right)c \frac{\sqrt3}{2} \cr 2\sqrt3=\frac{\sqrt3}{8} c^2 \cr c^2=16 \cr c=4 \end{gather} $$ Na koniec wyraził pole trójkąta w postaci $c$ i $v$: $$ 2\sqrt3=\frac12 cv $$ Stamtąd obliczył: $$ v=\sqrt3 $$

Ania użyła funkcji tangens: $$ \begin{gather} \mathrm{tg}\,30^{\circ}=\frac{a}{b}\cr a=\frac{b}{\sqrt3} \end{gather} $$ Następnie podstawiła $a$ do wzoru na pole trójkąta i otrzymała długości $b$: $$ \begin{gather} P=\frac12 ab \cr 2\sqrt3=\frac12 \frac{b^2}{\sqrt3} \cr b^2=12 \cr b=2\sqrt3 \end{gather} $$

Na koniec określiła długość $v$ za pomocą funkcji cosinus: $$ \begin{gather} \cos⁡\,60^{\circ}=\frac{v}{b} \cr v=b \cos⁡\,60^{\circ} \cr v=\sqrt3 \end{gather} $$ Który z nich prawidłowo rozwiązał zadanie?