Lisa musiała znaleźć liczbę dzielników liczby naturalnej $46\,200$. Rozwiązała zadanie w następujących krokach:
(1) Dokonała rozkładu na czynniki pierwsze.
$$46\,200=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\cdot11$$
(2) Wyraziła wynik za pomocą wykładników.
$$46\,200=2^3\cdot3^1\cdot5^2\cdot7^1\cdot11^1$$
(3) Stwierdziła, że liczba jej dzielników jest sumą wykładników otrzymanych po rozkładzie na czynniki pierwsze, tj. $8$. $3+1+2+1+1=8$.
Czy jej rozwiązanie jest poprawne? Jeśli nie, wskaż nieprawidłowy krok.
Tak, całe rozwiązanie jest w porządku.
Nie, jej rozwiązanie nie jest poprawne. Błąd tkwi w kroku (1). Rozkład na czynniki pierwsze to:
$$46\, 200= 3^1\cdot7^1\cdot8^1\cdot11^1\cdot25^1$$ Liczba jego dzielników to: $$1+1+1+1+1=5$$
Nie, jej rozwiązanie nie jest poprawne. Błąd tkwi w kroku (3). Całkowita liczba czynników jest obliczana przez dodanie 1 do każdego wykładnika, a następnie zsumowanie ich. Zatem liczba dzielników wynosi:
$$4+2+3+2+2=13$$
Nie, jej rozwiązanie nie jest poprawne. Błąd tkwi w kroku (3). Całkowita liczba czynników jest obliczana przez dodanie $1$ do każdego wykładnika, a następnie pomnożenie ich razem. Zatem liczba dzielników wynosi: $$4\cdot2\cdot3\cdot2\cdot2=96$$.
Dla liczby, której pierwiastek wynosi $x^a\cdot y^b$, całkowitą liczbę czynników określamy dodając $1$ do każdego wykładnika, a następnie mnożąc je razem. Wyraża to wzór na liczbę czynników jako $(a + 1)\cdot(b + 1)$, gdzie $a$ i $b$ są wykładnikami otrzymanymi po pierwiastkowaniu danej liczby.
Na przykład: Liczba $12$ ma rozkład na czynniki pierwsze $12=2^2\cdot3^1$.
Liczba jej dzielników wynosi $(2 + 1)\cdot(1 + 1) = 6$.
Wszystkie dzielniki mają postać $2^a\cdot3^b$, gdzie $0 \leq a \leq 2$, $0 \leq b \leq 1$.
Są to $1 = 2^0\cdot3^0$, $2 = 2^1\cdot3^0$, $3 =2^0\cdot3^1$, $4 = 2^2\cdot3^0$, $6 = 2^1\cdot3^1$ i $12 = 2^2\cdot3^1$.
Poprawne rozwiązanie: Liczba $46\, 200$ ma rozkład na czynniki pierwsze $46\, 200=2^3\cdot3^1\cdot5^2\cdot7^1\cdot11^1$.
Liczba jego dzielników wynosi (3 + 1) ∙ (1 + 1) ∙ (2 + 1) ∙ (1 + 1) ∙ (1 + 1) = 96.