$\log^2{⁡x}-2 \log{⁡x}=0$

Trzy studentki, Jana, Dana i Alena, miały za zadanie rozwiązać następujące równanie dla $x \in \mathbb{R}$. $$\log^2{⁡x}-2 \log{⁡x}=0$$

Przeanalizuj kroki podjęte przez każdą z nich w celu rozwiązania równania i określ, która z nich postąpiła poprawnie.

Jana

(1) Wyznaczyła dziedzinę logarytmu $\log⁡{x}$: $$ x>0 $$

(2) Podzieliła równanie $\log^2{⁡x}-2 \log{⁡x}=0$ przez $\log{⁡x}$: $$ \log{⁡x}-2=0 $$

(3) Przeniosła $2$ do prawej strony równania: $$ \log{x} = 2 $$

(4) Uprościła równanie przy użyciu tożsamości logarytmicznej: $$ \log_a{⁡x}=v \Leftrightarrow x=a^v $$ i uzyskała rozwiązanie: $$ x=10^2 $$

Alena

(1)Określiła dziedzinę logarytmu $\log{⁡x}$: $$ x>0 $$

(2) Zmodyfikowała równanie $\log^2{⁡x}-2 \log{⁡x}=0$ wykorzystując właściwości logarytmów do: $$ 2 \log{⁡x}-2 \log⁡{x}=0 $$ w wyniku czego: $$0=0$$

(3) Z równania i dziedziny logarytmu wywnioskowała, że rozwiązaniem jest zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych.

Dana

(1)Określiła dziedzinę logarytmu $\log{⁡x}$: $$x>0$$

(2)Do równania $\log^2⁡{x}-2 \log{⁡x}=0$ ,wprowadziła zamianę: $$\log{⁡x}=t$$

(3) Uzyskała równanie kwadratowe: $$t^2-2t=0$$

(4) Rozwiązała równanie kwadratowe przez faktoryzację $t$: $$ \begin{gather} t^2-2t=0 \cr t(t-2)=0 \end{gather} $$ dając korzenie: $$ t=0, ~t=2 $$

(5) Następnie powróciła do podstawienia i rozwiązała dla $x$ korzenie: $$ \begin{gather} t=0 \Rightarrow \log{⁡x}=0 \Rightarrow x=1 \cr t=2 \Rightarrow \log{⁡x}=2 \Rightarrow x=100 \end{gather} $$