Paweł, Patryk i Ela musieli rozwiązać następujący przykład: Określ wszystkie wartości $m$ dla którego $\frac{m+1}{4}$, $\frac{m+3}{6}$, $\frac{m+9}{12}$ tworzą trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego.
Paweł wiedział, że jeśli liczby $a$, $c$, $b$ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to $$ c=\frac{a+b}{2} $$ i tak skorzystał ze wzoru: $$ \frac{m+1}{4}+\frac{m+9}{12}=2\cdot \frac{m+3}{6} $$
Następnie kontynuował w następujący sposób: $$ \begin{gather} \frac{3m+3}{12}+\frac{m+9}{12}=\frac{m+3}{3} \cr \frac{4m+12}{12}=\frac{m+3}{3} \cr 4\frac{m+3}{3}=\frac{m+3}{3} \end{gather} $$ Na koniec uprościł równanie, mnożąc obie strony przez $\frac{3}{m+3}$ i dostał: $$ 4=1? $$ Nie zapomniał też o warunku $m\neq-3$. Paweł jest teraz przekonany, że w tym przykładzie nie ma rozwiązania dla $m\neq-3$ i jest rozwiązanie $m=-3$.
Dla wyznaczonej wartości otrzymał liczby $$ -\frac{1}{2},\ 0,\ \frac{1}{2} $$ Liczby te tworzą trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego o wspólnej różnicy $d=\frac{1}{2}$.
Patryk pamiętał, że ciąg arytmetyczny to ciąg postaci: $$ a,\ a+d,\ a+2d,\ldots $$ Gdzie $a$ jest pierwszym wyrazem i $d$ jest wspólną różnicą ciągu. Rozwiązał przykład w ten sposób: $$ \begin{gather} \frac{m+9}{12}-\frac{m+3}{6}=2\left(\frac{m+3}{6}-\frac{m+1}{4}\right) \cr \frac{m+9-2\left(m+3\right)}{12}=2\cdot \frac{2\left(m+3\right)-3\left(m+1\right)}{12} \cr \frac{3-m}{12}=\frac{3-m}{6} \cr m=3 \end{gather} $$ Jeśli chodzi o niego, to otrzymał ciąg arytmetyczny jeśli $m=3$. Dla wyznaczonej wartości otrzymał $$ \frac{4}{4},\ \frac{6}{6},\ \frac{12}{12} $$ Liczby te są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o wspólnej różnicy $d=0$.
Ela uważała, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego musi zachodzić:
$$ \frac{m+3}{6}\div\frac{m+1}{4}=\frac{m+9}{12}\div\frac{m+3}{6} $$ Następnie kontynuowała: $$ \begin{gather} \frac{4(m+3)}{6(m+1)}=\frac{6(m+9)}{12(m+3)} \cr 48\left(m+3\right)^2=36(m+1)(m+9) \cr 4(m^2+6m+9)=\ 3(m^2+10m+9) \cr m^2-\ 6m+9=0 \cr \left(m-3\right)^2=0 \cr m=3 \cr \end{gather} $$ Ela doszła do wniosku, że podane wyrażenia rzeczywiście tworzą trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego jeśli
$m=3$.
Który z nich poprawnie rozwiązał zadanie?
Żaden z nich
Ela
Paweł
Patryk
Sposób rozwiązania Pawła był słuszny, ale popełnił błąd przy uwzględnieniu. $$ \frac{4m+12}{12}=\frac{m+3}{3} $$ Powinno być: $$ \begin{gather} \frac{4\left(m+3\right)}{12}=\frac{m+3}{3}\cr \frac{m+3}{3}=\frac{m+3}{3} \end{gather} $$ Z powyższej tożsamości wynika, że $\frac{m+1}{4},\ \frac{m+3}{6},\ \frac{m+9}{12}$ są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego dla każdego $m\in\mathbb{R}$.