Gregg uprościł racjonalne wyrażenie $$\frac{x}{x-1}-\frac{1}{1-x}$$ w następujących krokach:
(1) Na samym początku określił warunek $x\neq1$.
(2) Zmodyfikował drugi ułamek w następujący sposób: $$\frac{x}{x-1}-\frac{1}{1-x}=\frac{x}{x-1}+\frac{1}{x-1}$$
(3) Następnie wyeliminował ułamki, mnożąc wyrażenie wymierne przez $x-1$:
$$\frac{x}{x-1}+\frac{1}{x-1}=x+1$$
Czy jego rozwiązanie jest poprawne? Jeśli nie, wskaż wszystkie jego błędy.
Rozwiązanie jest poprawne.
Rozwiązanie nie jest poprawne. Błąd tkwi w kroku (2). Powinien był zmodyfikować drugi ułamek w następujący sposób: $$\frac{x}{x-1}-\frac{1}{1-x}=\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x-1}$$ Następnie powinien wyeliminować ułamki, mnożąc przez $x-1$ i otrzymując wynik $$\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x-1}=x-1$$
Rozwiązanie nie jest poprawne. Błąd tkwi w kroku (3). Pomnożenie wyrażenia przez $x-1$ zmienia jego wartość. Poprawny krok (3) to:
$$\frac{x}{x-1}+\frac{1}{x-1}=\frac{x+1}{x-1}$$
Rozwiązanie nie jest poprawne. Błędy występują zarówno w kroku (2), jak i (3). Gregg powinien był zmodyfikować drugi ułamek w następujący sposób: $$\frac{x}{x-1}-\frac{1}{1-x}=\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x-1}$$
Następny krok powinien wyglądać następująco: $\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}=1$.
Poprawne rozwiązanie:
$$\frac{x}{x-1}-\frac{1}{1-x}=\frac{x}{x-1}+\frac{1}{x-1}=\frac{x+1}{x-1},\quad x\neq1$$