W koszyku znajdują się 2 czekoladowe zajączki za 70 CZK każdy, 3 czekoladowe jajka za 50 CZK każde i 5 cukierków za 30 CZK każdy. Wybieramy losowo trzy przedmioty z koszyka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymamy słodycze o wartości 130 CZK?
Rozwiązanie Charlesa:
(1) Trzy cukierki o wartości 130 CZK możemy zdobyć tylko na dwa sposoby:
a. jeden króliczek i dwa cukierki,
b. dwa jajka i jeden cukierek.
(2) Wybieramy 3 przedmioty spośród wszystkich 10 słodyczy w koszyku. Całkowita liczba takich wyborów jest określona przez współczynnik dwumianowy: $$K={10\choose3}=120$$
(3) Liczba wyborów zawierających jednego króliczka i dwa cukierki wynosi: $$K_1=2\cdot{5\choose2}=20$$
(4) Liczba wyborów zawierających dwa jajka i jeden cukierek wynosi: $$K_2={3\choose2}\cdot5=15$$
(5) Całkowita liczba korzystnych wyborów wynosi zatem $K_1\cdot K_2$. Prawdopodobieństwo, że trzy losowo wybrane słodycze będą kosztować 130 CZK wynosi: $$P=\frac{K_1\cdot K_2}{K}=\frac{300}{120}=2{,}5$$
Czy Charlse popełnił błąd w swoim rozumowaniu? Jeśli tak, określ, jak powinien wyglądać prawidłowy wynik i gdzie tkwi błąd.
Błąd występuje w kroku (5). Całkowita liczba korzystnych wyborów jest sumą $K_1+K_2$. Prawdopodobieństwo, że trzy losowo wybrane słodycze będą warte 130 CZK wynosi: $$P=\frac{K_1+K_2}{K}=\frac{35}{120}\cong 0{,}2917$$
Błąd tkwi w kroku (2). Liczba różnych wyborów jest mniejsza, ponieważ te same słodycze powtarzają się w koszyku. Liczba różnych trójek przedmiotów wynosi $K=9$, z czego dwie trójki spełniają podane kryteria (1a,1b). Wynikowe prawdopodobieństwo wynosi: $$P=\frac29\cong0{,}2222$$
Błąd jest w kroku (3). Charles obliczył liczbę wyborów $K_1$, w których jest jeden króliczek i dwa cukierki, niepoprawnie. $K_1=1\cdot {7\choose2}=21$. Otrzymane prawdopodobieństwo wynosi: $$P=2{,}6250$$
Błąd tkwi w kroku (5). Iloczyn $K_1\cdot K_2$ należy podzielić przez iloczyn powtarzających się cukierków. Wynikowe prawdopodobieństwo wynosi: $$P=\frac{K_1\cdot K_2}{2\cdot 3\cdot5}\cdot\frac{1}{120}\cong0{,}0417$$
Rozwiązanie jest prawidłowe.