Trzech uczniów rozwiązało nierówność: $$ 2x^2+12x+20 \geq 0 $$
Łukasz pamiętał, że $(x+6)^2=x^2+12x+36$, więc przepisał nierówność do postaci: $$ (x+6)^2-36+20 \geq 0 $$ Następnie rozwiązał ją w następujący sposób: $$ \begin{align} (x+6)^2 \geq 16 \cr x+6 \geq 4 \cr x\geq-2 \end{align} $$ Adam postanowił wyznaczyć wyróżnik wielomianu kwadratowego: $$ D=12^2-4\cdot 2 \cdot 20=-16 $$ Wyróżnik okazał się ujemny, z czego wywnioskował, że nierówność nie ma rozwiązania.
Eva również odkryła, że wyróżnik jest ujemny, więc postanowiła sporządzić wykres funkcji kwadratowej $f(x)=2x^2+12x+20$. Wiedziała, że wykres jest parabolą i wyznaczyła jego wierzchołek za pomocą metody uzupełniania kwadratu: $$ \begin{align} 2(x^2+6x+9)-9\cdot 2+20 \geq 0 \cr 2(x+3)^2+2 \geq 0 \cr V=(-3;-2) \end{align} $$ Teraz rozumowała w następujący sposób: wierzchołek paraboli leży poniżej osi $x$, wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny, więc oznacza to, że parabola otwiera się w dół, a funkcja nie może przyjmować wartości dodatnich. Podana nierówność nie ma rozwiązania.
Która osoba rozwiązała ją poprawnie?
Żadna z nich
Eva
Łukasz
Adam
Wypełniając kwadrat, otrzymujemy: $$ 2(x+3)^2+2\geq0 $$ Współrzędne wierzchołka paraboli to: $x=-3$, $y=2$, ale nie ma potrzeby ich wyznaczać. Wystarczą dwie kolejne informacje: Wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny, co oznacza, że parabola nie ma miejsc zerowych $x$. Współczynnik wyrażenia kwadratowego jest dodatni ($a=2$), więc parabola ma ramiona skierowane w górę. Wszystko to razem oznacza, że funkcja kwadratowa przyjmuje tylko wartości dodatnie, a rozwiązaniem podanej nierówności są wszystkie $x\in\mathbb{R}$.