Michał rozwiązał równanie wymierne $$ \frac{x+2}{x}+\frac{2x+1}{x+2}=\frac{−4x+4}{x^2+2x} $$ w następujących krokach:
(1) Pomnożył obie strony równania przez wyrażenie $x(x+2)$: $$ (x+2)^2+x(2x+1)=−4x+4 $$
(2) Podniósł dwumian do kwadratu i usunął nawiasy mnożąc przez czynnik $x$: $$ x^2+4x+4+2x^2+x=−4x+4 $$
(3) Łącząc podobne wyrazy otrzymał równanie kwadratowe i sprowadził je do postaci iloczynowej: \begin{aligned} 3x^2+9x&=0 \cr 3x(x+3)&=0 \end{aligned}
(4) Iloczyn czynników jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero, więc Michał doszedł do wniosku, że równanie ma dwa rozwiązania, a mianowicie $x=0$ i $x=-3$.
Czy jego rozwiązanie jest poprawne? Jeśli nie, wskaż wszystkie błędne kroki.
Nie, jego rozwiązanie nie jest poprawne. Podczas rozwiązywania równań wymiernych mamy dwie możliwości: albo obliczyć dziedzinę równania na początku, aby zidentyfikować wartości, które dałyby zerowe mianowniki, albo przeprowadzić sprawdzenie na końcu.
Nie, jego rozwiązanie nie jest poprawne. Oprócz rozwiązań $x=0$ i $x=-3$ powinien był dodać rozwiązanie $x=-2$, które wynika bezpośrednio z zadania. (Zerowy mianownik).
Tak, całe rozwiązanie jest w porządku.
Nie, błąd jest w kroku (3). Powinien był rozwiązać równanie kwadratowe za pomocą wzoru: $$ x_{1,2}=\frac{-9 \pm \sqrt{9^2-4\cdot 3\cdot 0}}{2} $$ Obliczając, otrzymałby rozwiązania $x=0$ i $x=-9$.
W wyjściowym równaniu wartości $x=0$ i $x=−2$ powodują, że mianowniki są równe zero. Ponieważ nie można dzielić przez zero, to nie mogą one być rozwiązaniami wyjściowego równania.
Jeżeli nie wyznaczymy dziedziny i zaczniemy rozwiązywać równanie wymierne mnożąc obie strony równania przez najmniejszy wspólny mianownik, zawsze musimy sprawdzić nasze rozwiązania w wyjściowym równaniu. Możemy uzyskać rozwiązania nie należące do dziedziny. Sprawdzając dane równanie, stwierdzamy, że ma ono tylko jedno rozwiązanie:
Dla $x=−3:~L=\frac{−3+2}{−3}+\frac{2\cdot (−3)+1}{−3+2}=\frac{1}{3}+5=\frac{16}{3},~P=\frac{−4\cdot (−3)+4}{(−3)^2+2\cdot (−3)}=\frac{16}{3}.$
Dla $x=0:~L=\frac{0+2}{0}+\frac{2 \cdot 0+1}{0+2} \mathrm{~(błąd)},~P=\frac{−4\cdot 0+4}{0^2+2 \cdot 0} \mathrm{~(błąd)}$
Widzimy, że $x=0$ nie jest rozwiązaniem równania.