Se le pidió a Paula que construyera un triángulo $ABC$ que cumpliera las siguientes condiciones: $a =|BC|=6\,\mathrm{cm}$, $\alpha =|\measuredangle BAC|=50^{\circ}$, $t_a=4\,\mathrm{cm}$ (donde $t_a$ es la mediana del lado $a$).
Procedió del siguiente modo (véase la imagen):
(1) Dibujó el segmento de recta $BC$ de longitud $6\,\mathrm{cm}$.
(2) Encontró el punto medio $S_a$ de la recta segmento $BC$ y afirmó que este punto pertenece a la mediana $t_a$ del triángulo $ABC$.
(3) Construyó un círculo $k$ centrado en $S_a$ with con un radio de $t_a= 4\,\mathrm{cm}$ y afirmó que el punto $A$ pertenecía al círculo $k$.
(4) Rotó el punto $C$ alrededor del punto $B$ formando un ángulo de $\alpha =50^{\circ}$ en el sentido contrario a las agujas del reloj y obtuvo el punto $C'$. Luego construyó la recta $BC'$ y marcó el punto donde se cruza con la mediatriz $o$ del lado $BC$ con el punto $S$.
(5) Construyó el conjunto de puntos $M$ desde los que se ve el segmento de recta $BC$ con un ángulo de $\alpha = 50^{\circ}$. Este conjunto forma los puntos interiores de un arco de circunferencia con centro $S$ y radio $|SB|$. Luego afirmó que el punto $A$ pertenecía al conjunto $M$.
(6) Halló la intersección del conjunto $M$ y el círculo $k$, obtuvo dos puntos, eligió uno de ellos y lo marcó como vértice $A$.
(7) Completó la construcción del triángulo $ABC$.
¿Ha cometido algún error? En caso afirmativo, indica dónde.
Sí, ha cometido un error en el paso (2). El punto $S_a$ no pertenece a la mediana $t_a$ del triángulo $ABC$.
Sí, ha cometido un error en el paso (3). El punto $A$ no pertenece al círculo $k$.
Sí, ha cometido un error en el paso (5). El punto $A$ no pertenece al conjunto $M$.
Sí, cometió un error en el paso (6). No es correcto elegir un punto arbitrario de la intersección del conjunto $M$ con el círculo $k$.
No, todos los pasos son correctos.
El procedimiento correcto es el siguiente (véase la imagen):
(1) Dibuja el segmento de recta $BC$ de longitud $6\,\mathrm{cm}$.
(2) Hallar el punto medio $S_a$ del segmento de recta $BC$.
(3) Construye un círculo $k$ centrado en $S_a$ con radio $t_a=4\,\mathrm{cm}$.
(4) Girar el punto $C$ alrededor del punto $B$ con un ángulo $\alpha =50^{\circ}$ en el sentido de las agujas del reloj para obtener el punto $C'$. Se construye a continuación la semirrecta $BC'$ y la recta $i$ perpendicular a la semirrecta $BC'$ y que pasa por el punto $B$. Por último, el punto de intersección de la recta $i$ y la mediatriz $o$ del lado $BC$ es el punto $S$.
(5) Construir el conjunto de puntos $M$ desde los que se ve el segmento de recta $BC$ con un ángulo $\alpha = 50^{\circ}$ (estos son los puntos interiores de un arco de circunferencia con centro $S$ y radio $|SB|$).
(6) Halla los puntos de intersección del conjunto $M$ y el círculo $k$ (hay dos puntos). Selecciona uno de ellos y márcalo como vértice $A$.
(7) Construye el triángulo $ABC$.
Utilizamos el hecho de que la medida de un ángulo central es el doble de la medida del ángulo inscrito correspondiente. Por lo tanto, si la medida del ángulo inscrito es $50^{\circ}$, entonces el ángulo central correspondiente debe medir $100^{\circ}$.
Nota: En la construcción incorrecta de Paula, el ángulo central mediría $80^{\circ}$, por lo que el ángulo inscrito correspondiente mediría $40^{\circ}$ (ver la imagen de abajo).
