Resuelve la desigualdad: $$\tan\left(x-\frac{3\pi}{8}\right)>1\ \mbox{ for }x\in\mathbb{R}$$ Michael resolvió la tarea en los siguientes pasos:
(1) Utilizando la sustitución $m=x-\frac{3\pi}{8}$, reescribió la desigualdad en la forma: $$\tan m>1$$ (2) A continuación, resolvió la ecuación $\tan m=1$: $$m=\frac{\pi}{4}+k\cdot\pi,\ \mbox{ for }k\in\mathbb{Z}$$ (3) Expresó el resultado en términos de la incógnita $x$, obteniendo la solución de la ecuación $\tan\left(x-\frac{3\pi}{8}\right)=1$: $$x-\frac{3\pi}{8}=\frac{\pi}{4}+k\cdot\pi\Rightarrow x=\frac{5\pi}{8}+k\cdot\pi,\ \mbox{ for }k\in\mathbb{Z}$$ (4) A continuación, determinó los puntos donde la función $\tan\left(x-\frac{3\pi}{8}\right)$ no está definida: $$\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\frac{7\pi}{8}+k\cdot\pi\right\}$$ (5) Afirmó que la función tangente es creciente, por lo que el valor de la función $\tan\left(x-\frac{3\pi}{8}\right)$ será mayor que $1$ cuando $x$ sea mayor que $\frac{5\pi}{8}$. Combinando este resultado con el obtenido en el paso (4), concluyó: $$\tan\left(x-\frac{3\pi}{8}\right)>1\Leftrightarrow x >\frac{5\pi}{8}\ \mbox{ and } x\neq\frac{7\pi}{8}+k\cdot\pi,\ \mbox{ for }k\in\mathbb{Z}$$
Así, afirmó que la solución a la desigualdad dada es: $$K=\left(\frac{5\pi}{8};+\infty\right)\backslash\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\frac{7\pi}{8}+k\cdot \pi\right\}$$ La solución no es correcta. ¿En qué paso cometió un error Michal?
El error está en el paso (1). En este caso, no se puede utilizar una sustitución.
El error está en el paso (2). Una solución de la ecuación $\tan m=1$ es $m=\frac{\pi}{4}$ y el período básico de la función $\tan(m)$ es $2\pi$. Por tanto, todas las soluciones son: $$m=\frac{\pi}{4}+2\cdot k\cdot\pi,\ \mbox{ for }k\in\mathbb{Z}$$
El error está en el paso (3). La incógnita $x$ no está expresada correctamente. Debería ser: $$x=-\frac{\pi}{8}+k\cdot\pi,\ \mbox{ for }k\in\mathbb{Z}$$
El error está en el paso (4). La función no está definida para: $$\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\frac{3\pi}{8}+k\cdot\pi\right\}$$
El error está en el paso (5). La función no es creciente en todo el dominio. La función tangente es creciente sólo entre cada dos puntos adyacentes donde no está definida.
Presentemos la solución correcta. La función no está definida en los puntos:
$$\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\frac{7\pi}{8}+k\cdot\pi\right\}$$
La función tangente es periódica y creciente entre cada dos puntos adyacentes donde no está definida. Por lo tanto:
$$\tan\left(x-\frac{3\pi}{8}\right)>1\Leftrightarrow x \in\left(\frac{5\pi}{8}+k\cdot\pi; \frac{7\pi}{8}+k\cdot\pi\right),\ \mbox{ for } k\in\mathbb{Z}$$
La solución de la desigualdad $\tan\left(x-\frac{3\pi}{8}\right)>1$ puede finalmente escribirse como:
$$K=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{5\pi}{8}+k\cdot\pi; \frac{7\pi}{8}+k\cdot\pi\right)$$