$\sin ⁡x = \,?$

Alexander sabía que: $$\cot x=-\frac34\ \mbox{and}\ x\in\left(\frac32\pi,2\pi\right)$$ Intentó determinar el valor de $\sin ⁡x$ sin calculadora.

Resolucion de Alexander:

(1) Primero, expresó $\sin^2 x$ partiendo de la fórmula $\sin^2 x+\cos^2 x=1$, y obtuvo: $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$

(2) Luego, como $x\neq k\pi$, donde $k\in\mathbb{Z}$, Alexander dividió la expresión por $\sin^2 x$ y obtuvo: $$1=\frac{1}{\sin^2 x}-\cot^2 x$$

(3) En el siguiente paso, expresó $\sin^2 x$ con la siguiente ecuación: $$\sin^2 x=\frac{1}{1+\cot^2 x}$$

(4) Posteriormente, sustituyó el valor dado $\cot x=-\frac34$: $$\sin^2 x=\frac{1}{1+\frac{9}{16}}$$

(5) Simplificó la fracción: $$\sin^2 x=\frac{16}{25}$$

(6) Finalmente, calculó la raíz cuadrada de la igualdad y obtuvo el valor buscado de $\sin x$: $$\sin x=\frac45$$

Los ocmpañeros de Alexander comentaron su solución:

a) Eva creía que el error estaba en el paso (3). La simplificación correcta debería ser: $$\sin^2 x=1-\cot^2 x$$

b) Marek decía que el paso (4) no era correcto. El verdadero valor de $\sin^2 x$ debería ser: $$\sin^2 x=\frac{1}{1-\frac{9}{16}}$$

c) Martina estaba convencida de que había un error en el paso (5). La simplificación correcta debería ser: $$\sin^2 x=\frac85$$

d) Petra decía que el paso (6) no era correcto. En su opinión, la tarea propuesta tiene dos soluciones, y: $$\sin^2 x=\frac{16}{25}\Leftrightarrow|\sin x|=\frac45\Leftrightarrow\left(\sin x=\frac45 \lor \sin x=-\frac45\right)$$ Determina quién tenía razón.