Bárbara intentó calcular $$\cos465^{\circ}$$ sin utilizar la calculadora. Procedió de la siguiente manera: \begin{aligned} \cos465^{\circ}&\stackrel{(1)}=\cos\left(360^{\circ}+105^{\circ}\right)\stackrel{(2)}=\cr &\stackrel{(2)}=\cos105^{\circ}\stackrel{(3)}=\cos60^{\circ}+\cos45^{\circ}\stackrel{(4)}=\cr &\stackrel{(4)}=\frac12+\frac{\sqrt2}{2}\stackrel{(5)}=\frac{1+\sqrt2}{2} \end{aligned} ¿Cometió Bárbara algún error en su solución? En caso afirmativo, especifica en qué paso.
No. La solución de Bárbara es correcta.
Sí. El error está en el paso (2). La simplificación correcta debería ser: $$\cos\left(360^{\circ}+105^{\circ}\right)=1+\cos105^{\circ}$$
Sí. El error está en el paso (3). Debería ser: $$\cos105^{\circ}=\cos60^{\circ}\cos45^{\circ}-\sin60^{\circ}\sin45^{\circ}$$
Sí. El error está en el paso (4). Debería ser: $$\cos60^{\circ}+\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}$$
Bárbara cometió un error en el paso (3). Debería haber utilizado la identidad trigonométrica de la suma de ángulos: $$\cos(x+y)=\cosx\cosy-\sinx\siny$$ Solución correcta: \begin{aligned} \cos465^{\circ}&=\cos\left(360^{\circ}+105^{\circ}\right)=\cos105^{\circ}=\cr &=\cos\left(60^{\circ}+45^{\circ}\right)=\cos60^{\circ}\cos45^{\circ}-\sin60^{\circ}\sin45^{\circ}=\cr &=\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{4}\left(1-\sqrt3\right) \end{aligned}