Susana tiene $\mathbf{20}$ caramelos: $\mathbf{12}$ con sabor a fresa y $\mathbf{8}$ con sabor a limón. Le da a Tony $\mathbf{4}$ caramelos. Toni, aficionado a las matemáticas, calcula la probabilidad de obtener exactamente 2 caramelos de fresa y 2 de limón en una selección aleatoria de 4 caramelos.
(1) En primer lugar, Toni calculó cuántas selecciones distintas de $4$ caramelos se pueden hacer a partir de $20$. Se trata de cuartetos no ordenados, y hay ${20\choose 4}=4\,845$ de ellos.
(2) En el siguiente paso, calculó cuántas selecciones de $2$ caramelos de fresa se pueden hacer. Está eligiendo pares de caramelos de fresa de $12$, y hay ${12\choose 2}=66$ pares de este tipo.
(3) A continuación, Toni calculó el número de selecciones de $2$ caramelos de limón. Está eligiendo pares del total de $8$ caramelos de limón, y hay ${8\choose 2}=28$ pares de este tipo.
(4) Toni descubrió que podía elegir $66$ pares de caramelos de fresa y $28$ pares de caramelos de limón. El número total de cuartetos diferentes de caramelos que contienen $2$ caramelos de fresa y $2$ caramelos de limón es $66+28=94$.
(5) Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar exactamente un cuarteto con $2$ caramelos de fresa y $2$ caramelos de limón de entre todos los caramelos es $$\frac{94}{4\,845}\cong0.0194$$
¿Cometió Toni un error en su razonamiento? Si es así, ¡encuéntralo!
Toni no cometió ningún error. Resolvió la tarea a la perfección, ¡como un verdadero entusiasta de las matemáticas!
Cometió un error justo en el paso (1). El número de posibles selecciones de $4$ caramelos de $20$ debería haberse calculado como un cuarteto ordenado, que es $20\cdot19\cdot18\cdot17=116\cdot 280$. Por lo tanto, la probabilidad de obtener exactamente $2$ caramelos de limón y $2$ caramelos de fresa es: $$\frac{94}{116\,280}\cong0.0008$$
Toni cometió errores en los pasos (2) y (3). Al seleccionar los pares, el orden de los caramelos es importante. El número de pares de caramelos de fresa debería ser $12\cdot11=132$, y el número de pares de caramelos de limón debería ser $8\cdot7=56$. La probabilidad correcta es: $$\frac{188}{4\,845}\cong0.0388$$
Toni cometió un error en el paso (4). El número de cuartetos de caramelos diferentes debería ser $66\cdot28=1\ 848$, y la probabilidad correcta es: $$\frac{1\,848}{4\,845}\cong0.3814$$