Halla la suma de todos los números para los que la siguiente expresión no está definida. $$\left(\frac{x-2}{x^2-9}+1\right):\frac{1-x}{x+2} + \frac{5}{3x-x^2}$$ Camille resolvió la tarea mediante los siguientes pasos:
(1) Para la expresión entre paréntesis, escribió la condición de existencia y determinó para qué valores de $x$ no está definida: $$\begin{aligned}x^2 - 9\neq0 &\Rightarrow (x - 3)\cdot(x + 3)\neq0 \Rightarrow \cr&\Rightarrow(x - 3\neq0 \land x + 3 \neq 0)\Rightarrow \cr &\Rightarrow (x\neq3 \land x \neq -3)\end{aligned}$$ (2) Después, escribió la condición que debe cumplir la fracción $\frac{1-x}{x+2}$ para estar definida: $$x + 2\neq0 \Rightarrow x \neq -2$$
(3) Luego, Camille escribió la condición de existencia para la fracción $\frac{5}{3x-x^2}$ y determinó para qué valores de $x$ no está definida: $$\begin{aligned} 3x-x^2\neq0 &\Rightarrow x\cdot(3-x)\neq0 \Rightarrow\cr &\Rightarrow (x\neq0 \land 3 - x\neq 0)\Rightarrow\cr & \Rightarrow (x \neq0 \land x \neq 3)\end{aligned}$$ (4) Por último, Camille afirmó que la expresión dada no está definida para $$x\in\left\{-3;-2;0;3\right\}$$ y calculó la suma de estos números: $(-3) + (-2) + 0 + 3 = -2$.
La resolución de Camille no es correcta. ¿Dónde cometió el error?
El error está en el paso (1). Camille no determinó correctamente todas las condiciones de la expresión entre paréntesis.
El error está en el paso (2). Camille no determinó correctamente todas las condiciones para que la fracción $\frac{1-x}{x+2}$ esté definida.
El error está en el paso (3). Camille no determinó correctamente todas las condiciones para que la fracción $\frac{5}{3x-x^2}$ esté definida.
El error está en el paso (4). Camille llegó a una conclusión errónea ya que omitió una condición y, por lo tanto, no está calculada correctamente la suma de los números para los que la expresión dada no está definida.
Camille no se dio cuenta de que la fracción $\frac{1-x}{x+2}$ también está en el denominador en la expresión: $$\frac{\frac{x-2}{x^2-9}+1}{\frac{1-x}{x+2}}$$ Esto significa que la fracción $\frac{1-x}{x+2}$ debe cumplir también la condición: $$\frac{1-x}{x+2}\neq 0 \Rightarrow 1 - x \neq 0 \Rightarrow x\neq1$$ La expresión dada no está definida para $$x\in\left\{-3;-2;0;1;3\right\}$$ y la suma de estos números es: $$(-3) + (-2) + 0 + 1 + 3 = -1.$$