Longitud de la Altura sobre la Hipotenusa

Pedro, Juan y Natalia solucionaron la siguiente tarea:

En un triángulo rectángulo $ABC$, la medida del ángulo $ABC$ es $30^{\circ}$. El área del triángulo es $2\sqrt3$. Halla la longitud de la altura sobre la hipotenusa.

Todos empezaron a esbozar un dibujo:

y denotaron $a=|BC|$, $b=|AC|$, $c=|AB|$, y $v=|CD|$.

Pedro sabía que la altura sobre la hipotenusa divide el triángulo en dos triángulos semejantes entre sí: $$ \Delta ACD\sim \Delta CBD $$ Utilizando la semejanza de triángulos, continuó: $$ \begin{gather} \frac{v}{a}=\frac{b}{v }\cr v^2=ab \end{gather} $$ Dado que el área del triángulo $$ P=\frac12 ab=2\sqrt3 $$ sustituyó $ab$ por $4\sqrt3$ en la fórmula para $v^2$ y obtuvo: $$ \begin{gather} v^2=4\sqrt3 \cr v=2\sqrt[4]{3} \end{gather} $$

Juan utilizó la razón seno: $$ \begin{gather} \sin ⁡30^{\circ}=\frac{b}{c} \cr b=\frac12 c \end{gather} $$ Luego expresó el área del triángulo $$ P=\frac12 bc \sin ⁡60^{\circ} $$ y consiguió $$ \begin{gather} 2 \sqrt3= \frac12 \left(\frac12 c\right)c \frac{\sqrt3}{2} \cr 2\sqrt3=\frac{\sqrt3}{8} c^2 \cr c^2=16 \cr c=4 \end{gather} $$ Por último, expresó el área del triángulo en términos de $c$ y $v$: $$ 2\sqrt3=\frac12 cv $$ A partir de ahí calculó: $$ v=\sqrt3 $$

Natalia utilizó la razón tangente: $$ \begin{gather} \mathrm{tg}\,30^{\circ}=\frac{a}{b}\cr a=\frac{b}{\sqrt3} \end{gather} $$ Luego sustituyó $a$ en la fórmula del área del triángulo y obtuvo la longitud de $b$: $$ \begin{gather} P=\frac12 ab \cr 2\sqrt3=\frac12 \frac{b^2}{\sqrt3} \cr b^2=12 \cr b=2\sqrt3 \end{gather} $$

Por último, determinó la longitud de $v$ utilizando la razón coseno: $$ \begin{gather} \cos⁡\,60^{\circ}=\frac{v}{b} \cr v=b \cos⁡\,60^{\circ} \cr v=\sqrt3 \end{gather} $$ ¿Cuál de ellos procedió correctamente al solucionar la tarea?