$\log^2{⁡x}-2 \log{⁡x}=0$

Se encargó a tres estudiantes, Jana, Dana y Alena, resolver la siguiente ecuación para $x \in \mathbb{R}$. $$\log^2{⁡x}-2 \log{⁡x}=0$$

Observa los pasos que siguió cada una de ellas para resolver la ecuación y determina cuál procedió correctamente.

Jana

(1) Determinó el dominio de definición del logaritmo $\log⁡{x}$: $$ x>0 $$

(2) Dividió la ecuación $\log^2{⁡x}-2 \log{⁡x}=0$ entre $\log{⁡x}$: $$ \log{⁡x}-2=0 $$

(3) Movió el $2$ al otro miembro de la ecuación: $$ \log{x} = 2 $$

(4) Simplificó la ecuación usando la definición de logaritmo: $$ \log_a{⁡x}=v \Leftrightarrow x=a^v $$ y obtuvo la solución: $$ x=10^2 $$

Alena

(1) Determinó el dominio de definición del logaritmo $\log{⁡x}$: $$ x>0 $$

(2) Modificó la ecuación $\log^2{⁡x}-2 \log{⁡x}=0$ usando las propiedades de los logaritmos: $$ 2 \log{⁡x}-2 \log⁡{x}=0 $$ resultando: $$0=0$$

(3) A partir de la ecuación y el dominio del logaritmo, llegó a la conclusión de que la solución es el conjunto de todos los números reales positivos.

Dana

(1) Determinó el dominio de definición del logaritmo $\log{⁡x}$: $$x>0$$

(2) En la ecuación $\log^2⁡{x}-2 \log{⁡x}=0$, introdujo el cambio de variable: $$\log{⁡x}=t$$

(3) Obtuvo la ecuación cuadrática: $$t^2-2t=0$$

(4) Resolvió la ecuación cuadrática factorizando $t$: $$ \begin{gather} t^2-2t=0 \cr t(t-2)=0 \end{gather} $$ obteniendo las raíces: $$ t=0, ~t=2 $$

(5) Luego, deshizo el cambio de variable y resolvió las raíces de $x$: $$ \begin{gather} t=0 \Rightarrow \log{⁡x}=0 \Rightarrow x=1 \cr t=2 \Rightarrow \log{⁡x}=2 \Rightarrow x=100 \end{gather} $$