Ann, Kristina y Ulla resolvieron la siguiente tarea:
Una sucesión $(a_n )$ viene dada para cada $n\in \mathbb{N}$ por la fórmula $a_n=\frac{5-3n}{7}$. Encuentra todos los valores de $x\in \mathbb{R}$ tales que $$ a_4,~x^2+2, ~a_{11} $$ son tres términos consecutivos de una progresión geométrica y calcula su razón común $q$.
Ann calculó primero: $$ a_4=-1,~a_{11}=-4 $$ Según ella, si los números $a_4$, $x^2+2$, $a_{11}$ deben ser términos consecutivos de una progresión geométrica, entonces $$ x^2+2=\frac{a_{11}}{a_4} $$ por tanto $$ x^2+2=4 $$ Luego resolvió la ecuación anterior obteniendo: $$ x=\pm \sqrt{2} $$ Los tres términos consecutivos de la sucesión son $-1$, $4$, $-4$ y la razón común de la progresión es $q=4$.
Kristina recordó que si consideramos tres términos consecutivos en una progresión geométrica $a$, $b$, $c$, entonces $$ \frac{b}{a}=\frac{c}{b} $$ y $$ b^2=ac $$ Calculó los términos extremos: $$ a_4=-1,~a_{11}=-4 $$ y procedió de la siguiente manera: $$ \begin{gather} (x^2+2)^2=4 \cr |x^2+2|=2 \cr x^2+2=\pm2 \end{gather} $$ Resolviendo estas dos ecuaciones, obtuvo tres resultados: $$ x=0,x=2,x=-2 $$ Para $x=0$, los tres términos consecutivos son $-1$, $2$, $-4$ y $q=-2$.
Para $x=\pm 2$, los tres términos consecutivos son $-1$, $4$, $-4$ y $q=4$.
Ulla pensó que para el término medio de una progresión geométrica se debe cumplir: $$ x^2+2=\frac{a_4+a_{11}}{2} $$ Calculó: $$a_4=-1,~a_{11}=-4 $$ por lo que $$ \begin{gather} x^2+2=-\frac{5}{2} \cr x^2=-\frac{9}{2} \end{gather} $$ Por ello, concluyó que la tarea no tenía solución.
¿Cuál de ellas procedió correctamente en la resolución?
Ninguna de ellas.
Ann.
Kristina.
Ulla.
La forma de resolución de Kristina fue correcta, pero cometió un error resolviendo al ecuación $$ |x^2+2|=2 $$ Como $x^2+2>0$, debería haber continuado $$ x^2+2=2 $$ por lo que $$ x=0 $$ Los tres términos consecutivos de la progresión geométrica son $-1$, $2$, $-4$ y $q=-2$.