Dado el segmento de recta $AB$:
$$\left.\begin{aligned} x&= 7-3t\cr y&=-5+9t \end{aligned} \right\rbrace\ \mbox{para } t\in[0;1]$$ y la semirrecta $KL$: $$\left.\begin{aligned} x&=1-2r\cr y&=3+r\cr \end{aligned}\right\rbrace\ \mbox{para } r\in[0;\infty).$$
Determina su intersección.
Charles resolvió el problema mediante los siguientes pasos:
(1) Supuso que la intersección es un punto $P=[p_1; p_2]$. $$\begin{aligned}&P \in AB:\quad\begin{aligned} p_1&=7-3t\cr p_2&=-5+9t\end{aligned}\cr\cr &P\in\mapsto KL: \begin{aligned} p_1&=1-2r\cr p_2&=3+r \end{aligned}\end{aligned}$$
(2) Utilizando un método de igualación, estableció un sistema de ecuaciones: $$\begin{aligned} 7-3t&= 1-2r\cr -5+9t&= 3+r\end{aligned}$$
(3) Solucionó este sistema utilizando el método de sustitución. Como primer paso, despejó la variable $r$ en la segunda ecuación: $r = 9t-8$.
(4) Tras sustituir la variable $r$ en la primera ecuación, resolvió la ecuación con la variable $t$:
$$\begin{alignat}2 7-3t&=1-2(9t-8)&&\cr 7-3t&=1-18t+16\quad&&\big/+ 18t-7\cr 15t &= 10\quad&&\big/ : 15\cr t &=\frac{10}{15}=\frac23 \end{alignat}$$
(5) Comprobó si $t$ satisfacía la condición y encontró la intersección. $$t\in [0;1] \Rightarrow P=\left[7-3\cdot\frac23; -5+9\cdot\frac23\right]\Rightarrow P=[5; 1] $$
¿Es correcta la solución de Charles? Si no es así, determina en qué se equivocó Charles.
La solución de Charles es correcta.
El error está en el paso (3). Charles expresó incorrectamente la variable $r$.
El error está en el paso (4). Charles no solucionó correctamente la ecuación con la variable $t$, y por lo tanto, determinó incorrectamente el punto de intersección $P$.
El error está en el paso (5). Charles no calculó la variable $r$ y no comprobó las condiciones que debía cumplir.
Después de calcular la variable $r$ ($r = 9\cdot\frac23-8 = -2$), encontramos que $r\notin [ 0;\infty)$, por lo tanto el segmento de recta $AB$ y la semirrecta $KL$ no tienen intersección.