Términos de la Progresión I

Pablo, Patrick y Ela tuvieron que resolver este ejemplo: Determinar todos los valores de $m$ para los que $\frac{m+1}{4}$, $\frac{m+3}{6}$, $\frac{m+9}{12}$ forman tres términos consecutivos de una progresión aritmética.

Pablo sabía que si los números $a$, $c$, $b$ son términos consecutivos de una progresión aritmética, entonces $$ c=\frac{a+b}{2} $$ y por eso utilizó la siguiente fórmula: $$ \frac{m+1}{4}+\frac{m+9}{12}=2\cdot \frac{m+3}{6} $$

Luego continuó así: $$ \begin{gather} \frac{3m+3}{12}+\frac{m+9}{12}=\frac{m+3}{3} \cr \frac{4m+12}{12}=\frac{m+3}{3} \cr 4\frac{m+3}{3}=\frac{m+3}{3} \end{gather} $$ Por último, simplificó la ecuación multiplicando ambos lados por $\frac{3}{m+3}$ y obtuvo: $$ 4=1? $$ No olvidó la condición: $m\neq-3$. Pablo ahora está convencido de que este ejemplo no tiene solución para $m\neq-3$ y que tiene solución para $m=-3$. Efectivamente $$ -\frac{1}{2},\ 0,\ \frac{1}{2} $$ forman tres términos consecutivos de una progresión aritmética con diferencia común $d=\frac{1}{2}$.

Patrick recordó que una progresión aritmética era una sucesión de la forma: $$ a,\ a+d,\ a+2d,\ldots $$ donde $a$ el el primer término y $d$ es la diferencia común de la sucesión. El ejercicio lo solucionó así: $$ \begin{gather} \frac{m+9}{12}-\frac{m+3}{6}=2\left(\frac{m+3}{6}-\frac{m+1}{4}\right) \cr \frac{m+9-2\left(m+3\right)}{12}=2\cdot \frac{2\left(m+3\right)-3\left(m+1\right)}{12} \cr \frac{3-m}{12}=\frac{3-m}{6} \cr m=3 \end{gather} $$ En cuanto a él, obtenemos una progresión aritmética si $m=3$. Efectivamente $$ \frac{4}{4},\ \frac{6}{6},\ \frac{12}{12} $$ son tres términos consecutivos de una progresión aritmética con diferencia común $d=0$.

Ela pensó que para los tres términos consecutivos de una progresión aritmética debía cumplirse: $$ \frac{m+3}{6}\div\frac{m+1}{4}=\frac{m+9}{12}\div\frac{m+3}{6} $$ Luego continuó así:
$$ \begin{gather} \frac{4(m+3)}{6(m+1)}=\frac{6(m+9)}{12(m+3)} \cr 48\left(m+3\right)^2=36(m+1)(m+9) \cr 4(m^2+6m+9)=\ 3(m^2+10m+9) \cr m^2-\ 6m+9=0 \cr \left(m-3\right)^2=0 \cr m=3 \cr \end{gather} $$ Ela llegó a la conclusión de que las expresiones dadas sí formaban tres términos consecutivos de una progresión aritmética si $m=3$.

¿Cuál de los tres procedió correctamente en la solución?