Adam solucionó la ecuación $$ \bigl||x−3|−2\bigr|=1 $$ así:
(1) Sabía que $|x|^2=x^2$, así que decidió eliminar el valor absoluto elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación: $$ \begin{align} (|x-3|-2)^2=1^2 \cr (x-3)^2−2\cdot 2(x-3)+4=1 \end{align} $$ (2) Luego realizó las operaciones matemáticas necesarias para simplificar la ecuación: $$ \begin{align} x^2−6x+9−4x+12+4=1 \cr x^2−10x+24=0 \end{align} $$
(3) Solucionó la ecuación cuadrática resultante: $$ \begin{align} x_{1,2}=\frac{-(-10) \pm \sqrt{(−10)^2−4 \cdot 1 \cdot 24}}{2\cdot 1} \cr x_1=\frac{10+\sqrt{4}}{2}=6, ~x_2=\frac{10−\sqrt{4}}{2}=4 \end{align} $$
(4) Por último, comprobó sus soluciones en la ecuación original para asegurarse de que no obtuvo ninguna solución extraña: $$ \begin{align} x=6: I=\bigl||6−3|−2\bigr|=\bigl||3|−2\bigr|=|1|=1 \Rightarrow I=D \cr x=4: I=\bigl||4−3|−2\bigr|=\bigl||1|−2\bigr|=|−1|=1 \Rightarrow I=D \end{align} $$ Adam está convencido de haber resuelto la ecuación correctamente y de que las soluciones son $x=6$ y $x=4$.
Aquí tienes algunas observaciones sobre su solución. ¿Cuál es la correcta?
Observación 1. Cometió un error en el paso (1) al calcular el cuadrado del paréntesis.
Observación 2. La solución de Adam está perfectamente bien. La comprobación salió bien.
Observación 3. Cometió un error en el paso (2) al simplificar la ecuación.
Observación 4. La ecuación no puede resolverse por elevación al cuadrado.
$$\begin{align} (|x−3|−2)^2=1^2 \cr (x−3)^2−2\cdot 2|x−3|+4=1 \end{align} $$ Dado que $|x-3|=x-3$ para $x\geq 3$ y $|x-3|=-(x-3)$ para $x<3$, obtenemos dos ecuaciones simplificadas diferentes: $$ x^2-10x+24=0 \mathrm{~para~} x\geq 3 \mathrm{~y~} x^2-2x=0 \mathrm{~para~} x<3. $$ La segunda ecuación tiene raíces $x=0$ y $x=2$, que también son soluciones de la ecuación original. Por tanto, la ecuación dada tiene cuatro soluciones: $x=6$, $x=4$, $x=0$, $x=2$.