En una cesta hay 2 conejos de chocolate por 70 CZK cada uno, 3 huevos de chocolate por 50 CZK cada uno y 5 caramelos por 30 CZK cada uno. Seleccionamos al azar tres artículos de la cesta. ¿Cuál es la probabilidad de que obtengamos dulces por valor de 130 CZK?
La solución de Carlos:
(1) Sólo podemos conseguir tres dulces por valor de 130 CZK de dos maneras:
a. un conejo y dos caramelos,
b. dos huevos y un caramelo.
(2) Estamos seleccionando 3 artículos de los 10 dulces de la cesta. El número total de tales selecciones viene dado por el número combinatorio $K={10\choose3}=120$.
(3) El número de selecciones que contienen un conejo y dos caramelos es $K_1=2\cdot{5\choose2}=20$.
(4) El número de selecciones que contienen dos huevos y un caramelo es $K_2={3\choose2}\cdot5=15$.
(5) El número total de selecciones favorables es, por tanto, $K_1\cdot K_2$. La probabilidad de que tres dulces elegidos al azar cuesten 130 CZK es $P=\frac{K_1\cdot K_2}{K}=\frac{300}{120}=2.5$.
¿Cometió Carlos algún error en su resolución? Si es así, determina dónde está y cómo debería ser el resultado correcto.
El error está en el paso (5). El número total de selecciones favorables es la suma de $K_1+K_2$. La probabilidad de que tres dulces seleccionados al azar valgan 130 CZK es $P=\frac{K_1+K_2}{K}=\frac{35}{120}\cong 0.2917$.
El error está en el paso (2). El número de selecciones diferentes es menor porque los mismos dulces se repiten en la cesta. El número de ternas diferentes de artículos es $K=9$, de los cuales dos ternas cumplen los criterios dados (1a,1b). La probabilidad resultante es $P=\frac29\cong0.2222$.
El error está en el paso (3). Carlos calculó incorrectamente el número de selecciones $K_1$, en las que hay un conejo y dos caramelos. $K_1=1\cdot {7\choose2}=21$. La probabilidad resultante es $P=2.6250$.
El error está en el paso (5). Hay que dividir el producto de $K_1\cdot K_2$ por el producto de los dulces repetidos. La probabilidad resultante es $P=\frac{K_1\cdot K_2}{2\cdot 3\cdot5}\cdot\frac{1}{120}\cong0.0417$.
La solución de Carlos es correcta.