Michael ha resuelto la ecuación racional $$ \frac{x+2}{x}+\frac{2x+1}{x+2}=\frac{−4x+4}{x^2+2x} $$ dando los siguientes pasos:
(1) Ha multiplicado ambos miembros de la ecuación por la expresión $x(x+2)$: $$ (x+2)^2+x(2x+1)=−4x+4 $$
(2) Ha resuelto la identidad notable y eliminado el paréntesis multiplicando por el factor $x$: $$ x^2+4x+4+2x^2+x=−4x+4 $$
(3) Combinando términos semejantes ha obtenido una ecuación cuadrática y la ha factorizado: $$\begin{aligned} 3x^2+9x&=0 \cr 3x(x+3)&=0 \end{aligned}$$
(4) Un producto de factores es cero si y sólo si uno o más de los factores es cero, por lo que Michael ha llegado a la conclusión de que la ecuación tiene dos soluciones, en este caso $x=0$ y $x=−3$.
¿Es correcto su procedimiento de resolución? Si la respuesta es negativa, identifica todos sus errores.
No, su procedimiento de resolución no es correcto. Al resolver una ecuación racional, tenemos que realizar alguna de las siguientes opciones: examinar la ecuación al principio para identificar los valores que darían lugar a denominadores cero o realizar una comprobación al final.
No, su procedimiento de resolución no es correcto. Además de las soluciones $x=0$ y $x=−3$ debería haber añadido la solución $x=−2$, que se deduce directamente del enunciado. (Da lugar al denominador cero).
Sí. Todo el proceso de resolución está perfecto.
No, el error está en el paso (3). Debería haber resuelto la ecuación cuadrática usando la fórmula: $$ x_{1,2}=\frac{−9 \pm \sqrt{9^2−4\cdot 3\cdot 0}}{2} $$ Haciendo cálculos, obtendría las soluciones $x=0$ y $x=−9$.
En la ecuación original, los valores $x=0$ y $x=-2$ hacen cero a los denominadores. Como la división por cero es indefinida, estos valores no pueden ser soluciones de la ecuación original.
Si no especificamos condiciones y empezamos a resolver una ecuación racional multiplicando ambos miembros de la ecuación por el mínimo común denominador, debemos comprobar siempre nuestras soluciones en la ecuación original, ya que podemos obtener soluciones extrañas. Al hacer la comprobación para la ecuación dada encontramos que sólo tiene una solución:
Para $x=−3:~I=\frac{−3+2}{−3}+\frac{2\cdot (−3)+1}{−3+2}=\frac{1}{3}+5=\frac{16}{3},~D=\frac{−4\cdot (−3)+4}{(−3)^2+2\cdot (−3)}=\frac{16}{3}.$
Para $x=0:~I=\frac{0+2}{0}+\frac{2 \cdot 0+1}{0+2} \mathrm{~(indefinido)},~D=\frac{−4\cdot 0+4}{0^2+2 \cdot 0} \mathrm{~(indefinido)}$
Podemos observar que $x=0$ no es una solución.