Studenti měli za úkol najít lokální extrémy funkce: $$f(t)=3t^4−4t^3,$$ kde $t \in \mathbb{R}$.
Všichni správně vypočítali první derivaci: $$ f'(t)=12t^3−12t^2, $$ a pro nalezení řešení ji položili rovnu nule: $$ 12t^3−12t^2=0. $$ Dále už pokračovali každý trochu jinak.
Adam rovnici přepsal do tvaru: $$ 12t^3=12t^2. $$ Tato rovnice je (po vydělení obou stran výrazem $t^2$) ekvivalentní s rovnicí $12t =12$, která má jediné řešení $t =1$. V tomto bodě je jediný lokální extrém funkce $f $.
Bob v rovnici $12t^3−12t^2=0$ vytknul: $$ 12t^2(t −1)=0 $$ a takto získal dvě řešení: $t_1=1$ a $t_2=0$. Bob usoudil, že v těchto bodech má funkce $f$ lokální extrémy.
David postupoval obdobně jako Bob a získal dvě řešení příslušné rovnice $t_1=1$ a $t_2=0$. Pro ověření, zda se skutečně jedná o extrémy, spočítal druhou derivaci: $$ f''(t)=36t^2−24t $$ dosadil do ní vypočtené kořeny $t_1=1$ a $t_2=0$ a provedl závěry: $$ f''(1)=36\cdot 1^2−24 \cdot 1=12>0 $$ … to znamená, že v bodě $1$ nastává lokální extrém (lokální minimum), $$ f''(0)=36 \cdot 02−24 \cdot 0=0 $$ … to znamená, že v bodě $0$ lokální extrém nenastává.
Ema opět došla stejným způsobem ke dvěma kořenům $t_1=1$ a $t_2=0$ a rozhodla takto:
V okolí bodu $t_1=1$ mění první derivace funkce $f $ znaménko, tudíž v bodě $1$ nastává lokální extrém. Přesněji řečeno, na intervalu $(0,1)$ je první derivace $f$ záporná a na intervalu $(1,+\infty)$ kladná. Protože funkce $f$ je spojitá v bodě $1$, platí, že $f$ je klesající na intervalu $\langle 0,1 \rangle$ a rostoucí na intervalu $\langle 1,+\infty)$. To znamená, že v bodě $1$ je lokální minimum.
Naopak, v okolí bodu $t_2=0$ první derivace $f$ znaménko nemění, takže v bodě $0$ lokální extrém nenastává.
Kteří ze studentů se při řešení nedopustili chyby?
Pouze Ema.
Adam, David a Ema.
David a Ema.
Pouze Bob.
Adam se dělením rovnice připravil o jeden z kořenů první derivace funkce $f$.
Bob se mylně domníval, že v každém nulovém bodě první derivace funkce $f$ automaticky nastává lokální extrém.
David si měl uvědomit, že pokud je první i druhá derivace v jistém bodě rovná nule, nelze pouze na základě těchto derivací o přítomnosti extrému rozhodnout.
