Jiří dostal za úkol najít pro funkci: $$ f(x) = 3x^2 − 1 $$ takové reálné číslo $a$, pro které platí $$ f(4a) − f(a + 4) = 45a^2. $$
Jiří úlohu řešil takto:
1) Nejprve vypočítal hodnotu funkce pro $x = 4a$: $$ f(4a) = 3(4a)^2 − 1 = 3 \cdot 16a^2 − 1 = 48a^2 − 1 $$
2) Pak vypočítal hodnotu funkce pro $x = a + 4$: $$ f(a + 4) = 3a^2 − 1 + 4 = 3a^2 + 3 $$
3) Udělal rozdíl hodnot vypočítaných v prvních dvou krocích a dostal: $$ 48a^2 − 1 − 3a^2 − 3 = 45a^2 − 4 $$
4) Získaný rozdíl položil roven $45a^2$ a dostal rovnici: $$ 45a^2 − 4 = 45a^2 $$ Jiří zjistil, že tato rovnice nemá řešení a došel tak k závěru, že hledané reálné číslo $a$ neexistuje.
Udělal Jiří nějakou chybu? Pokud ano, tak kde?
Ano, udělal chybu v kroku (1). Správně mu mělo vyjít: $$ f(4a) = 3 \cdot 4 \cdot (a)^2 − 1 = 12a^2 − 1 $$
Ano, udělal chybu v kroku (1). Správně mu mělo vyjít: $$ f(4a) = 3 \cdot 4a − 1 = 12a − 1 $$
Ano, udělal chybu v kroku (2). Správně mu mělo vyjít: $$ f(a + 4) = 3(a + 4)^2 − 1 = 3(a^2 + 8a + 16) − 1 = 3a^2 + 24a + 47 $$
Ano, udělal chybu v kroku (3). Rozdíl výrazů $(48a^2 − 1)$ a $(3a^2 + 3)$ není správný.
Ano, udělal chybu v kroku (4). Řešením rovnice $45a^2 − 4 = 45a^2$ je libovolné reálné číslo $a$.
Ne, chybu neudělal. Celý postup je správný.
Krok (1) je správně: $$ f(4a) = 48a^2 − 1. $$ V kroku (2) mělo správně být: $$ f(a + 4) = 3(a + 4)^2 − 1 = 3(a^2 + 8a + 16) − 1 = 3a^2 + 24a + 47$$ Po dosazení hodnot vypočítaných v prvních dvou krocích do dané rovnice: $$ f(4a) − f(a + 4) = 45a^2 $$ dostaneme: $$ \begin{gather} (48a^2 − 1) − (3a^2 + 24a + 47) = 45a^2 \cr 45a^2 − 24a − 48 = 45a^2 \cr −24a = 48 \cr a = −2 \end{gather} $$