$\cos\frac{\pi}{7}$

Adam tvrdí, že $\cos\frac{\pi}{7}$ se rovná každému ze čtyř následujících výrazů: $$\cos⁡\left(-\frac{\pi}{7}\right),\quad \cos\frac{13\pi}{7},\quad\cos\frac{⁡8\pi}{7},\quad\sin⁡\frac{9\pi}{14}$$

Říká, že:

(1) Kosinus je sudá funkce, takže $$\cos⁡\frac{\pi}{7}=\cos⁡\left(-\frac{\pi}{7}\right).$$

(2) Kosinus je sudá funkce s periodou $2\pi$, takže $$\cos\frac{\pi}{7}=\cos\left(-\frac{\pi}{7}\right)=\cos⁡\left(-\frac{\pi}{7}+2\pi\right)=\cos\frac{13\pi}{7}.$$

(3) Pro každé reálné číslo $x$ platí $\cos⁡x=\cos⁡(x+\pi)$, takže
$$\cos\frac{⁡\pi}{7}=\cos\left(\frac{\pi}{7}+\pi\right)=\cos⁡\frac{8\pi}{7}.$$

(4) Pro každé reálné číslo $x$ platí, že $\cos⁡x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$, takže $$\cos⁡\frac{\pi}{7}=\sin⁡\left(\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{2}\right)=\sin⁡\frac{9\pi}{14}.$$

Adamovi spolužáci komentovali jeho výroky:

• Honza: “Adam má pravdu.”
• Eliška: “Adamovy výroky (1) a (2) nejsou pravdivé. Kosinus je lichá funkce.”
• Pavel: “Adamův výrok (2) není pravdivý. Kosinus je periodická funkce s periodou $\pi$.”
• Marie: “Adamův výrok (3) není pravdivý. Pro každé reálné číslo $x$ platí, že $\cos⁡x=-\cos(x+\pi)$."
• Lucka: “Adamův výrok (4) není pravdivý. Pro každé reálné číslo $x$ platí, že $\cos⁡x=\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$ .”

Rozhodněte, který z Adamových spolužáků má pravdu.