Studenti Alice, Bob, Christine a David měli za úkol vypočítat neurčitý integrál: $$\int \frac{2x}{x^2+1} \mathrm{d}x$$
Zde jsou jejich řešení:
Alice si pamatovala, že pokud integrujeme funkci ve tvaru $\frac{g'}{g}$ (tj. funkci ve tvaru zlomku, kdy v čitateli je derivace jmenovatele), pak je integrál roven $\ln|g|+c$. Rovnou tedy napsala výsledek: $$ \int \frac{2x}{x^2+1} \mathrm{d}x=\ln|x^2+1|+c,c\in\mathbb{R}. $$
Bob si uvědomil, že se jedná o integrál z podílu dvou funkcí. Proto integroval zvlášť čitatele a zvlášť jmenovatele. Poté obdržel: $$ \int \frac{2x}{x^2+1} \mathrm{d}x=\frac{x^2}{\frac{x^3}{3}+x}+c, c\in\mathbb{R}. $$
Christine se rozhodla použít substituci $x^2+1=t$. Spočítala si vztah mezi diferenciály $2x\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ a pokračovala následovně: $$ \int \frac{2x}{x^2+1} \mathrm{d}x=\int \frac{\mathrm{d}t}{t}=\ln|t|+c=\ln|x^2+1|+c,c\in\mathbb{R}. $$
David si integrovanou funkci napsal ve tvaru součtu dvou zlomků a dostal: $$ \int \frac{2x}{x^2+1} \mathrm{d}x=\int \left(\frac{2x}{x^2} +\frac{2x}{1}\right) \mathrm{d}x=\int \left(\frac{2}{x}+2x\right)\mathrm{d}x=2 \ln|x|+x^2+c, c\in\mathbb{R}. $$
Provedl někdo z nich správný výpočet integrálu? Posuzujte celé řešení, nikoli jen výslednou funkci.
Správně postupovaly pouze Alice a Christine.
Správně postupovala pouze Alice.
Správně postupoval pouze Bob.
Správně postupovala pouze Christine.
Správně postupoval pouze David.
Všichni počítali chybně.
Postupy, které použily Alice a Christine jsou ekvivalentní a oba vedou ke správnému výsledku, který je platný na intervalu $(-\infty,+\infty)$. Bob i David se dopustili hrubé chyby. Bob si neuvědomil, že integrál podílu dvou funkcí není roven podílu odpovídajících integrálů, zatímco David provedl nesprávnou úpravu. Rovnost $\frac{2x}{x^2+1}=\frac{2x}{x^2} +\frac{2x}{1}$ totiž obecně neplatí.