Jsou dány body $K=[1; -4]$, $L=[2; -1]$ a $N=[-3; -2]$. Vypočtěte obsah rovnoběžníku $KLMN$ pomocí vektorového součinu vhodně zvolených vektorů.
Rebeka vyřešila tento úkol v následujícíh krocích:
(1) Nakreslila rovnoběžník $KLMN$. Poté umístila vektrory $\,\overrightarrow{u}$ a $\,\overrightarrow{v}$ na jeho strany a vypočítala jejich souřadnice (viz obrázek):
\begin{aligned} \overrightarrow{u}&=\overrightarrow{KL}= L - K = (1; 3)\cr \overrightarrow{v}&=\overrightarrow{KN}= N - K = (-4; 2) \end{aligned}
(2) Z hodin matematiky věděla, že obsah rovnoběžníku lze určit jako absolutní hodnotu vektorového součinu vektorů, které jsou určeny stranami rovnoběžníku. Podle zadání vypočítala vektorový součin vektorů $\,\overrightarrow{u}$ a $\,\overrightarrow{v}$,. \begin{array}{ccc} 3 & 1 &3\cr 2 &-4 &2\cr \hline \end{array}
\begin{aligned}
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\,&=\left(3\cdot(-4) - 2\cdot1; 1\cdot2 - (-4)\cdot3\right)\cr
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\,&=(-12 - 2; 2 + 12)\cr
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\,&= (-14; 14)
\end{aligned}
(3) Potom vypočítala absolutní hodnotu vektoru $(-14; 14)$: $$\left|(-14; 14)\right|=\sqrt{(-14)^2+14^2}=\sqrt{196+196}= \sqrt{196\cdot2}=14\sqrt2$$ (4) Nakonec odpověděla, že obsah rovnoběžníku $KLMN$ je $14\sqrt2$ čtverečných jednotek.
Dopustila se Rebeka ve svém postupu chyby? Jestli ano, urči kde.
Ne. Celý postup je správný.
Ano. Chyba je v kroku (1). Nesprávně vypočítala souřadnice jednoho z vektorů.
Ano. Chyba je v kroku (2). Nesprávně vypočítala vektorový součin vektorů $\,\overrightarrow{u}$ a $\,\overrightarrow{v}$.
Ano. Chyba je v kroku (3). Nesprávně vypočítala absolutní hodnotu vektorového součinu.
Rebeka se pokusila určit vektorový součin pro vektory definované v rovině, ale neuvědomila si, že vektorový součin je definován pouze pro vektory v prostoru. Pokud chceme vypočítat obsah rovnoběžníku pomocí vektorového součinu, musíme rovnoběžník umístit do prostoru. To provedeme tak, že ke souřadnicím všech jeho vrcholů přidáme třetí souřadnici se stejnou hodnotou (nejčastěji volíme třetí souřadnici rovnu nule). Ukažme si správný postup:
(1) $K=[1; -4; 0]$, $L=[2; -1; 0]$, $N=[-3; -2; 0]$
(2) \begin{aligned} &\overrightarrow{u}=\overrightarrow{KL}= L - K = (1; 3; 0)\cr &\overrightarrow{v}=\overrightarrow{KN}= N - K = (-4; 2; 0)\cr &\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}:\cr &\qquad\qquad\begin{array}{cccc} 3 &0 &1 &3\cr 2 &0 &-4 &2\cr \hline \end{array}\cr &\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}=(3\cdot0 - 2\cdot0; 0\cdot(-4) - 0\cdot1; 1\cdot2 - (-4)\cdot3) = (0 - 0; 0 - 0; 2 + 12) = (0; 0; 14) \end{aligned}
(3) $$A_{KLMN} =|\,\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\,|=\left|(0; 0; 14)\right|= \sqrt{0^2+0^2+14^2}=\sqrt{196} = 14 \textbf{ čtverečných jednotek}.$$
Víš, proč lze obsah rovnoběžníku určit podle vzorce $\mathbf{A_{KLMN}=|\,\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\,|}$?
Umístěme rovnoběžník do souřadnicového systému tak, aby ležel v rovině $xy$ plane (viz obrázek).
\begin{aligned}
&\overrightarrow{u}=\overrightarrow{KL}= (u_1; 0; 0)\cr
&\overrightarrow{v}=\overrightarrow{KN}= (v_1; v_2; 0)\cr
&\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}:\cr
&\qquad\begin{array}{cccc}
0 &0 &u_1 &0\cr
v_2 &0 &v_1 &v_2\cr
\hline
\end{array}\cr
&\qquad\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}=(0\cdot0 - 0\cdot v_2; 0\cdot v_1 - u_1\cdot 0; u_1\cdot v_2 - 0\cdot v_1)\cr
&\qquad\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}= (0; 0; u_1\cdot v_2)\cr
&|\,\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\,|= (0; 0; u_1\cdot v_2) =\sqrt{0^2+0^2+(u_1\cdot v_2)^2}=|u_1\cdot v_2 |,
\end{aligned}
kde $u_1$ je délka strany $\,\overrightarrow{u}$ rovnoběžníku a $v_2$ je velikost výšky na stranu $\,\overrightarrow{u}$ rovnoběžníku. Tedy
$$|\,\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\,|=|u_1\cdot v_2 |= \mathbf{A_{KLMN}}.$$
