Petr a Pavel měli řešit tuto úlohu:
Posloupnost $(a_n )$ je dána rekurentně: $$ \begin{align} a_1&=2 \cr a_n&=3(n-1)-a_{n-1}+3,~n\geq 2. \end{align} $$
Najděte celá čísla $x$, $y$ tak, aby $a_7$, $a_2+x$, $a_4+2y$ byly tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti a aby $a_1$, $4x-a_2$, $3a_6-y$ byly tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti.
Oba vypočítali těchto šest členů posloupnosti: $$ \begin{align} a_2&=3-a_1+3=4 \cr a_3&=6-a_2+3=5\cr a_4&=9-a_3+3=7\cr a_5&=12-a_4+3=8\cr a_6&=15-a_5+3=10\cr a_7&=18-a_6+3=11. \end{align} $$
Petr pokračoval takto: Jestliže $a_7$, $a_2+x$, $a_4+2y$ jsou tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti, pak je rozdíl libovolných dvou sousedních členů vždy stejný. A jestliže $a_1$, $4x-a_2$, $3a_6-y$ jsou tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti, prostřední z nich můžeme vypočítat pomocí zbývajících dvou členů:
$$
\begin{align}
(4+x)-11&=(7+2y)-(4+x)\cr
(4x-4)^2&=2(30-y).
\end{align}
$$
Z první rovnice vyjádřil $x$:
$$
\begin{align}
2x&=10+2y \cr
x&=5+y
\end{align}
$$
a dosadil ho do druhé rovnice:
$$
\begin{align}
(4y+16)^2&=60-2y \cr
16y^2+130y+196&=0 \cr
8y^2+65y+98&=0.
\end{align}
$$
Nakonec řešil kvadratickou rovnici:
$$
\begin{align}
y_{1,2}&=\frac{-65 \pm \sqrt{65^2-4 \cdot 8 \cdot 98}}{16} \cr
y_{1,2}&=\frac{-65 \pm \sqrt{4225-3136}}{16}\cr
y_{1,2}&=\frac{-65 \pm \sqrt{1089}}{16}\cr
y_{1,2}&=\frac{-65 \pm 33}{16}\cr
y_1&=-2,y_2=-\frac{49}{8}.
\end{align}
$$
Nyní zbývalo pouze dopočítat $x$:
$$
x_1=3,~x_2=-\frac98.
$$
Získal tak dvě řešení: $x_1=3$, $y_1=-2$ a $x_2=-\frac98$, $y_2=-\frac{49}{8}$.
Paveł uvažoval takto: Jestliže $a_7$, $a_2+x$, $a_4+2y$ jsou tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti, pak prostřední člen je aritmetickým průměrem zbývajících dvou členů. A jestliže $a_1$, $4x-a_2$, $3a_6-y$ jsou tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti, pak je podíl libovolných dvou sousedních členů vždy stejný. $$ \begin{align} 4+x&=\frac12 (11+(7+2y)) \cr \frac{4x-4}2&=\frac{30-y}{4x-4} \end{align} $$
Vyjádřil $y$ z druhé rovnice: $$ \begin{align} (4x-4)^2&=60-2y \cr 16x^2-32x+16&=60-2y \cr y&=-8x^2+16x+22 \end{align} $$ a dosadil ho do první rovnice: $$ \begin{align} 8+2x&=11+7-16x^2+32x+44 \cr 16x^2-30x-54&=0 \cr 8x^2-15x-27&=0. \end{align} $$ Pak tuto rovnici řešil: $$ \begin{align} x_{1,2}&=\frac{-15 \pm \sqrt{225-4 \cdot 8 \cdot (-27) }}{16} \cr x_{1,2}&=\frac{-15 \pm \sqrt{225+864}}{16}\cr x_{1,2}&=\frac{-15 \pm \sqrt{1089}}{16}\cr x_{1,2}&=\frac{-15 \pm 33}{16}\cr x_1&=-3,~x_2= \frac98. \end{align} $$
Nakonec dopočítal neznámou $y$: $$ \begin{align} y_1&=-8 \cdot 9-48+22=-98 \cr y_2&=-8 \cdot \frac{81}{64}+16 \cdot \frac{9}{8}+22=\frac{239}{8}. \end{align} $$
Podle něj má úloha jediné řešení, a to $x=-3$ a $y=-98$.
Kdo z nich úlohu řešil správně?
Ani jeden z nich.
Paveł
Petr
Paveł i Petr. Obě řešení jsou možná.
Petrovo řešení by bylo správné, kdyby vyloučil druhé řešení: $$ x_2=-\frac{9}{8},y_2=-\frac{49}{8} $$ Hledali jsme celá čísla $x$ a $y$!