Marek, Jan, a Lucie řešili následující úlohu:
Součet prvních pěti členů rostoucí aritmetické posloupnosti $(a_n)$ je roven $10$. Členy $a_3$, $a_5$, a $a_{13}$ v tomto pořadí tvoří tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti. Najděte vzorec pro $n$-tý člen posloupnosti $(a_n)$.
Všichni použili vzorec pro součet prvních pěti členů aritmetické posloupnosti $(a_n)$ s diferencí $d$ a obdrželi: $$ \begin{gather} \frac{a_1+a_1+4d}{2}\cdot 5=10 \cr a_1+2d=2. \end{gather} $$
Poté již každý z nich postupoval jiným způsobem.
Marek uvažoval, že pokud jsou $a_3$, $a_5$, a $a_{13}$ tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti, pak $$ a_1+4d=\frac{a_1+12d}{a_1+2d}. $$ Dosadil $2$ za $a_1+2d$ a vypočetl diferenci $d$ posloupnosti $(a_n)$: $$ \begin{gather} 2+2d=\frac{2+10d}{2} \cr d=\frac13. \end{gather} $$ Nakonec vypočítal $a_1$ a našel vzorec pro $n$-tý člen posloupnosti $(a_n)$: $$ \begin{gather} a_1=2-2d=\frac43 \cr a_n=\frac43+(n-1)\frac13 \cr a_n=1+\frac{n}3. \end{gather} $$
Jan uvažoval takto: Jestliže jsou $a_3$, $a_5$, a $a_{13}$ tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti, pak $$ \frac{a_1+4d}{a_1+2d}=\frac{a_1+12d}{a_1+4d}. $$
Dosadil $2$ za $a_1+2d$ a dostal: $$ \frac{2+2d}{2}=\frac{2+10d}{2+2d}. $$
Potom odstranil zlomek z poslední rovnice a vypočítal diferenci: $$ \begin{gather} 4+8d+4d^2=4+20d \cr 4d(d-3)=0 \cr d=0,~d=3. \end{gather} $$
Na závěr určil $a_1$ a vzorec pro $a_n$.
Pro $d=0$ dostal: $$ a_1=2,~a_n=2. $$ Pro $d=3$ dostal: $$ a_1=-4 $$ $$ a_n=-4+(n-1)\cdot 3=-7+3n. $$
Podle něj tedy existují dvě aritmetické posloupnosti s touto vlastností.
Lucie si vzpomněla, že pro tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti $a_3$, $a_5$, $a_{13}$ platí: $$ (a_1+4d)^2=(a_1+2d)(a_1+12d). $$ Odstranila závorky na obou stranách a zjednodušila rovnici: $$ \begin{gather} a_1^2+8a_1 d+16d^2= a_1^2+14a_1 d+24d^2 \cr 6a_1 d+8d^2=0 \cr d(6a_1+8d)=0. \end{gather} $$ Poté uvažovalo, že má-li platit poslední rovnice, pak $d=0$ nebo $a_1=-\frac43 d$.
Pro $a_1=-\frac43 d$ obdržela $$ \begin{gather} -\frac43 d+2d=2 \cr d=3.\end{gather} $$ Odkud $$a_1=-4$$ a $$a_n=-4+(n-1)\cdot 3=-7+3n.$$
Pro $d=0$ dostala $$a_1=2,~a_n=2.$$
Lucie tedy rovněž dospěla k závěru, že existují dvě aritmetické posloupnosti s touto vlastností.
Kdo z nich vyřešil úlohu správně?
Nikdo z nich.
Marek
Jan a Lucie
Jan a Lucie by úlohu vyřešili správně, kdyby vyloučili řešení $d=0$. V případě $d=0$ je daná posloupnost $(a_n)$ konstantní, což je v rozporu s předpokladem, že je rostoucí.