Sofie a Olívie měly vyřešit tuto úlohu:
V pravoúhlém trojúhelníku $ABC$ s pravým úhlem u vrcholu $C$ označme úhel u vrcholu $A$ jako $\alpha$ (tedy $\measuredangle BAC=\alpha$). Pro úhel $\alpha$ platí
$$\sin \alpha =\cos \alpha.$$
Délka přepony je $2$. Určete obsah kružnice vepsané tomuto trojúhelníku.
Sofie ukázala své řešení.
(1) Nakreslila obrázek pravoúhlého trojúhelníku s kružnicí vepsanou:
(2) Věděla, že obsah $P$ trojúhelníku $\Delta ABC$ lze vyjádřit pomocí délek jeho stran a délkou poloměru $\rho$ kružnice vepsané: $$ P=\frac12 a\rho +\frac12 b\rho +\frac12 c\rho =\frac12 \rho (a+b+c) $$
(3) Odtud vyjádřila poloměr $\rho$: $$ \rho =\frac{2P}{a+b+c} $$ (4) A pokračovala takto: $$ \begin{gather} \sin \alpha =\cos \alpha \Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{c} \Rightarrow a=b \cr a^2+a^2=2^2 \cr a=\sqrt{2} \end{gather} $$ (5) Nakonec vypočetla obsah $P$ a poloměr $\rho$: $$ \begin{gather} P=\frac{ab}{2}=1 \cr \rho =\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{2}+2} =\frac{1}{\sqrt{2}+1} \end{gather} $$ (6) Nyní mohla vypočítat obsah kružnice vepsané $A$: $$ A =\pi\rho^2=\frac{\pi}{3+2\sqrt{2}} $$
Zde je řešení Olívie:
(1) Využila, že $\sin \alpha = \cos \alpha$, z čehož vyplývá, že $\alpha =\frac{\pi}{4}$ a že $\Delta ABC$ je rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník.
(2) Nakreslila rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník s kružnicí vepsanou.
(3) Věděla, že osa pravého úhlu rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníka je zároveň výškou na přeponu, takže: $$ \tan \frac{ \alpha}{2}=\frac{\rho}{1} $$
(4) Vzpomněla si na vzorec pro výpočet tangens polovičního úhlu $$ \tan \frac{ \alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}} $$ a vyjádřila poloměr $\rho$ ve tvaru: $$ \rho =\sqrt{\frac{1-\frac1{\sqrt{2}}}{1+\frac1{\sqrt{2}}}}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}} $$
(5) Nakonec vypočetla obsah $A$ kružnice vepsané: $$ A =\pi\rho^2=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} \pi $$
Učitel požádal spolužáky o komentáře. Určete, který komentář je správný.
Karel je přesvědčený, že obě dívky vyřešily úlohu správně.
Libor si myslí, že řešení nejsou správně. Obě dívky udělaly chybu ve výpočtu poloměru $\rho$.
Marek se domnívá, že Olívie udělala chybu v kroku (4). Mělo to být: $$ \tan \frac{ \alpha}{2}= \frac{\sin \frac{ \alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} =1,~\rho =1 $$
Katka si myslí, že Olívie udělala v kroku (3) chybu. Příklad si zjednodušila tím, že se domnívala, že osa pravého úhlu rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníka dělí přeponu na stejné části, což nemusí obecně platit.
$$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\cdot \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}= \frac{1}{3+2\sqrt{2}}$$
