Skupina žáků si po písemce kontrolovala řešení a Adam napsal své řešení na tabuli. Za úkol měli řešit logaritmickou nerovnici $$ \log x-1 \geq 0 $$ Zde je Adamovo řešení:
(1) Adam si uvědomil, že logaritmy lze řešit pouze pro kladná čísla. Proto k dané nerovnici přidal podmínku řešitelnosti: $$ \log x-1 \geq 0;x>0 $$
(2) Převedl číslo $0$ na pravé straně nerovnice na $\log 1$: $$ \log x-1 \geq \log 1 $$
(3) Odstranil logaritmy z obou stran nerovnice (odlogaritmoval): $$ x-1 \geq 1 $$
(4) Vyřešil výslednou nerovnici a výsledek zapsal intervalem: $$ \begin{gather} x \geq 2 \cr x \in \langle 2;\infty) \end{gather} $$
(5) Nakonec Adam udělal zkoušku, vybráním libovolného čísla z výsledného intervalu. Zkouška pro $x=100$: $$ \begin{gather} L=\log 100-1=2-1=1 \cr P=0 \cr L>P \end{gather} $$ Je Adamovo řešení správně? Vysvětlete.
Ne. Chyba v kroku (3). V tomto tvaru nelze odlogaritmovat, protože jednička není součástí logaritmu na levé straně.
Ne. Chyba v kroku (2). Nelze přepsat $0=\log 1$. Je to logaritmus se základem $10$ a platí $0=\log 10$.
Ne. Chyba v kroku (3). Při odstraňování logaritmů v nerovnici se mělo změnit znaménko nerovnosti.
Ano. Adamovo řešení je správné.
Adam začal řešit nerovnici správně, určil podmínku pro řešení, přepsal správně číslo 0, ale neuvědomil si podmínky při odlogaritmování.
Správný postup při řešení nerovnice by měl být:
Nastavení podmínek řešitelnosti (logaritmy lze použít pouze pro kladná čísla) $$ \log {x}-1 \geq 0;~x>0 $$ Přičtení jedničky na obě strany nerovnice: $$ \log x≥1 $$ Přepis pravé strany pomocí logaritmu: $$ \log {x} \geq \log 10 $$ Odstranění logaritmů z nerovnice: $$ x \geq 10 $$ Řešení je interval $\langle 10; \infty )$.
Pozn. Množina řešení naší nerovnice je interval a zkoušku nelze provést dosazením jednoho vybraného čísla z tohoto intervalu. V tomto případě není zkouška nutná a nemusíme ji dělat.