Ve čtverci $KLMN$ je ve středu strany $LM$ daný bod $P$, ve středu strany $MN$ bod $Q$. Vyjádřete vektor $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{PQ}$ jako lineární kombinaci vektorů $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{KM}$ a $\overrightarrow{w}= \overrightarrow{LK}$.
Jan řešil úlohu takto:
(1) Umístil vektory $\,\overrightarrow{v}\,$ a $-\overrightarrow{w}\,$ tak, aby jejich počáteční body byly v bodě $N$.
(2) Umístil vektor $\,\overrightarrow{u}\,$ tak, aby jeho počáteční bod byl v bodě $M$.
(3) Zjistil, že vektor $\,\overrightarrow{u}\,$ teď spojuje koncové body vektorů $\frac12\, \overrightarrow{v}$ a $-\overrightarrow{w}\,$ umístěných tak, že jejich počáteční bod je v bodě $N$.
(4) Věděl, že vektor, který spojuje koncové body dvou vektorů, je jejich rozdílem, proto nakonec zapsal: $\ \overrightarrow{u} = \frac12\, \overrightarrow{v}\ –\ \overrightarrow{w}$.
Je Janove řešení správné? Pokud ne, určete, kde Jan udělal chybu.
Janovo řešení je správné.
Chyba je v kroku (1). Na obrázku není správně umístěný vektor $-\overrightarrow{w}$.
Chyba je v kroku (3). Fialově znázorněný vektor není umístěním vektoru $\frac12\, \overrightarrow{v}$.
Chyba je v kroku (4). Vektor, který spojuje koncové body dvou vektorů, je jejich rozdílem, a proto platí: $$\overrightarrow{u}=\frac12\, \overrightarrow{v}-\left(-\overrightarrow{w}\, \right)=\frac12\, \overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}. $$
