Pro jaké hodnoty parametru $m\in \mathbb{R}$ jsou řešením dané nerovnice $$ (m+3)x^2+(m−2)x+m−2>0 $$ všechna reálná čísla?
Filip ve třídě prezentoval své řešení tohoto problému:
(1) Předpokládejme nejprve, že nerovnost je lineární, tzn. kvadratický koeficient je nulový: $$ \begin{gather} m+3=0 \cr m=−3 \end{gather} $$ Pro $m=−3$ obdržíme nerovnici $−5x−5>0$, která neplatí pro všechny reálné hodnoty $x$.
(2) Nyní tedy uvažujme, že daná nerovnost je kvadratická. Výraz na levé straně bude kladný pro všechna reálná $x$, pokud parabola, tedy graf odpovídající kvadratické funkce, leží zcela nad osou $x$. To znamená, že parabola nemá žádné průsečíky s osou $x$, takže diskriminant kvadratického polynomu musí být záporný: $$ D=(m−2)^2−4(m+3)(m−2)<0 $$ Řešením výše uvedené nerovnosti obdržíme: $$ \begin{gather} −3m^2−8m+28<0 \cr m_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{64+336}}{−6} \cr m_1=−\frac{14}{3}\mathrm{~a~} m_2=2 \end{gather} $$ Levou stranu kvadratické nerovnice pak můžeme napsat v součinovém tvaru: $$ −3\left(m+\frac{14}{3}\right)(m−2)<0 $$ Snadno najdeme řešení $m<−\frac{14}{3}$ nebo $m>2$.
(3) Z toho vyplývá, že původní nerovnost platí pro každé reálné číslo $x$ právě tehdy, když $$m\in\left(−\infty;−\frac{14}{3}\right)\cup (2;+\infty)$$
Učitel se žáků zeptal, zda je Filipovo řešení v pořádku. Který z následujících komentářů je správný?
Laura: Filipovo řešení není úplně správné. V kroku (2) zapomněl na jednu podmínku, totiž že $$m+3>0$$
Sofie: Filipovo řešení je celkem správné. Výsledek je koneckonců správný.
Petr: Filip udělal chybu v kroku (2). Měl dostat výsledek $m>−\frac{14}{3} \land m<2$. Správné řešení je $$ m\in \left(−\frac{14}{3};2\right) $$
Libor: Filip udělal chybu v kroku (3). Správné řešení je $$ m\in \{-3\} \cap \left[\left(−\infty;−\frac{14}{3}\right)\cup (2;+\infty)\right] $$
Pokud je daná nerovnost kvadratická, pak bude platit pro každé reálné $x$, jsou-li splněny tyto dvě podmínky: $$ D=(m−2)^2−4(m+3)(m−2)<0 \mathrm{~a~} m+3>0 $$ Z první podmínky $D=(m−2)^2−6(m^2−m−2)<0$ obdržíme výsledek $m<−\frac{14}{3} \lor m>2$ a zaručí nám, že parabola nemá žádné průsečíky s osou $x$. Splnění druhé podmínky $m+3>0$ zaručuje, že se parabola otevírá směrem nahoru, což spolu s první podmínkou znamená, že leží zcela nad osou $x$. Řešením nerovnice $m+3>0$ obdržíme $m>−3$. Dáme-li obě podmínky dohromady, je zřejmé, že původní nerovnice platí pro všechna reálná $x$ právě tehdy, když $$m\in(2;+\infty)$$