Sleduj, jak Honza řešil rovnici: $$ \sqrt{x-1+\sqrt{x+2}}=3,~x \in \mathbb{R} $$
(1) Umocnil obě strany rovnice: $$x-1+\sqrt{x+2}=9$$
(2) Osamostatnil výraz s odmocninou na levé straně rovnice: $$\sqrt{x+2}=10-x$$
(3) Znovu umocnil obě strany rovnice: $$x+2=100−20x+x^2$$
(4) Pak uspořádal členy a dořešil získanou rovnici: $$ \begin{align} x^2−21x+98=0 \cr D=(−21)^2−4\cdot 1 \cdot 98=49 \cr x_{1,2}=\frac{−(−21)\pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} \cr x_1=14 \mathrm{~a~} x_2=7 \end{align} $$
(5) V odpovědi pak Honza uvedl, že zadaná rovnice má dvě řešení, $x_1=14$ a $x_2=7$.
Učitel se zeptal ostatních studentů, zda je řešení správně a zadaná rovnice má skutečně uvedená dvě řešení. Zde jsou jejich odpovědi. Která z nich je správná?
Kateřina si myslí, že Honza udělal chybu v kroku (4). Správně měl zapsat $$ \begin{align} x_{1,2}=\frac{-21\pm \sqrt{49}}{2\cdot 1} \cr x_1=-7 \mathrm{~a~} x_2=-14 \end{align} $$ a pokud bychom pak dosadili $-7$ nebo $-14$ za $x$ v původní rovnici, vždy bychom dostali druhou odmocninu ze záporného čísla. Usoudila tedy, že rovnice nemá řešení.
Fred si myslí, že Honza udělal chybu v kroku (3). Měl dostat $$ \begin{align} x+2=100−10x+x^2 \cr x^2−11x+98=0 \cr D =(−11)^2−4 \cdot 1 \cdot 98<0 \end{align} $$ coz znamená, že rovnice nemá řešení.
Helena je přesvědčená, že řešení není správné. Honza neudělal zkoušku. A řešením je pouze $x=7$.
James nesouhlasí s Helenou. Podle něj má rovnice take řešení $x_1=14$: $L=\sqrt{14−1+\sqrt{14+2}}=\sqrt{13+(−4)}=\sqrt{9}=3=P$, (můžeme použít $\sqrt{16}=\pm 4$), všechno je tedy v pořádku a rovnice má dvě řešení.
Zkouška pro $x=7$: $$ L=\sqrt{7-1+\sqrt{7+2}}=\sqrt{6+3}=\sqrt{9}=3,~P=3,~L=P. $$ Zkouška pro $x=14$: $$ L=\sqrt{14-1+\sqrt{14+2}}=\sqrt{13+4}=\sqrt{17},~P=3,~L\neq P. $$ Pamatuj, že výsledkem odmocnění může být pouze nezáporné číslo.