Helena řešila rovnici $$ \sqrt{x+7} =\sqrt{2x}+1,~x \in \mathbb{R} $$ následujícím způsobem.
(1) Umocnila obě strany rovnice, aby se zbavila odmocnin:
$$
\begin{aligned}
(\sqrt{x+7})^2 &=(\sqrt{2x}+1)^2 \cr
x+7&=2x+2\sqrt{2x}+1\cr
-x+6&= 2\sqrt{2x}
\end{aligned}$$
(2) Po zjednodušení získala rovnici, která stále obsahovala odmocninu. Proto obě strany rovnice znovu umocnila:
$$
\begin{aligned}
(-x+6)^2&=(2\sqrt{2x})^2 \cr
x^2-12x+36&=8x \cr
x^2-20x+36&=0
\end{aligned}$$
(3) Nakonec Helena došla ke kvadratické rovnici, kterou řešila pomocí vzorce: $$ x_{1,2}=\frac{20\pm \sqrt{(-20)^2-4 \cdot 1 \cdot 36}}{2}=\frac{20\pm \sqrt{256}}{2}=\frac{20\pm 16}{2} $$ Řešeními dané iracionální rovnice jsou: $$ x_1=18, x_2=2 $$ Najdete v jejím řešení chybu, nebo zadanou rovnici řešila bezchybně?
Helena nepostupovala správně. Zapomněla provést zkoušku pro oba kořeny. Ta je při řešení nezbytná, protože řešení nové rovnice, získané umocněním, nemusí být řešením původní rovnice.
Helenino řešení je bezchybné.
Helena udělala chybu v krocích (1) a (2). Nelze umocňovat obě strany rovnice.
Helena udělala chybu v kroku (1), když umocnila výraz $\sqrt{2x}+1$. Měla získat: $(\sqrt{2x}+1)^2=2x+1$.
Vzorec použitý v kroku (3) je chybný. Správný vzorec je: $$ x_{1,2}=\frac{-20\pm \sqrt{(−20)^2−4\cdot 1 \cdot 36}}{2} $$
Zkouška pro $x=18$: $$ L=\sqrt{18+7}=\sqrt{25}=5,~P=\sqrt{2 \cdot 18}+1=\sqrt{36}+1=6+1=7⇒L\neq P $$ Zkouška pro $x=2$: $$ L=\sqrt{2+7}=\sqrt{9}=3,~P=\sqrt{2\cdot 2}+1=\sqrt{4}+1=2+1=3⇒L=P $$ Ze zkoušky je zřejmé, že zadaná rovnice má pouze jedno řešení, a to $x=2$.