$\frac12=-\frac12$

Daná je postupnosť rovností, ktorá vedie k tvrdeniu $\frac12 = -\frac12$, čo je zjavne nesprávne. Jedna z týchto rovností je neplatná. $$\frac12=\sin30^\circ\stackrel{(1)}=-\sin210^\circ\stackrel{(2)}=\sin150^\circ\stackrel{(3)}=-\cos120^\circ\stackrel{(4)}=\cos\left(-120^\circ\right)\stackrel{(5)}=-\cos60^\circ=-\frac12$$

Učiteľ požiadal študentov, aby poskytli zdôvodnenie platnosti každého kroku. Tu sú ich komentáre:

Alica: Rovnosť (1) platí. Pre každé reálne číslo $x$ platí, $\sin x = -\sin(x + 180^\circ)$. Preto majú uhly $30^\circ$ (z prvého kvadrantu) a $210^\circ$ (z tretieho kvadrantu) opačné hodnoty sínusu.

Ben: Rovnosť (2) platí. Pre každé reálne číslo $x$ platí, $\sin(180^\circ + x) = -\sin(180^\circ - x)$. Preto majú uhly $210^\circ$ (z tretieho kvadrantu) a $150^\circ$ (z druhého kvadrantu) opačné hodnoty sínusu.

Daniel: Rovnosť (3) platí.

• Pre každé reálne číslo $x$ platí, $\sin x = \cos(x - 90^\circ)$. Preto $\sin 150^\circ = \cos 60^\circ$.
• Pre každé reálne číslo $x$ platí, $\cos x = -\cos(180^\circ - x)$. Preto majú uhly $60^\circ$ (z prvého kvadrantu) a $120^\circ$ (z druhého kvadrantu) opačné hodnoty kosínusu, t. j. $\cos 60^\circ = -\cos 120^\circ$.

Elena: Rovnosť (4) platí. Pre každé reálne číslo $x$ platí, $-\cos x = \cos(-x)$. Preto $-\cos 120^\circ = \cos(-120^\circ)$.

Filip: Rovnosť (5) platí.

• Funkcia kosinus je periodická s periódou $360^\circ$. Preto $\cos(-120^\circ) = \cos 240^\circ$.
• Pre každé reálne číslo $x$ platí, $\cos x = -\cos(180^\circ + x)$. Preto majú uhly $60^\circ$ (z prvého kvadrantu) a $240^\circ$ (z tretieho kvadrantu) opačné hodnoty kosínusu, t. j. $\cos 240^\circ = -\cos 60^\circ$.

Kto nemá pravdu?