$\frac{1+\cos ⁡15^{\circ}\cdot\sin^2 37^{\circ}\,30^{'}-\sin^2 15^{\circ}-\cos⁡ 15^{\circ}\cdot\cos^2 37^{\circ}\,30^{'}}{\cos⁡ 15^{\circ}}$

Project ID: 
3000000065
SubArea: 
Sinus, kosinus, tangens a kotangens (goniometrické funkcie)
Question: 

Dorota sa pokúsila vypočítať nasledujúci výraz bez použitia kalkulačky: $$\frac{1+\cos 15^{\circ}\cdot\sin^2 37^{\circ}\,30^{'}-\sin^2 15^{\circ}-\cos 15^{\circ}\cdot\cos^2 37^{\circ}\,30^{'}}{\cos 15^{\circ}}$$ Túto úlohu vyriešila v nasledujúcich krokoch: \begin{aligned} &\frac{1+\cos 15^{\circ}\cdot\sin^2 37^{\circ}\,30^{'}-\sin^2 15^{\circ}-\cos 15^{\circ}\cdot\cos^2 37^{\circ}\,30^{'}}{\cos 15^{\circ}}\stackrel{(1)}=\cr \stackrel{(1)}=&\frac{(1-\sin^2 15^{\circ})+\cos⁡15^{\circ}\cdot\left(\sin^2 \,37^{\circ}\,30^{'}-\cos^2 \,37^{\circ}\,30^{'}\right)}{\cos⁡15^{\circ}}\stackrel{(2)}=\cr \stackrel{(2)}=&\frac{\cos^2 15^{\circ}-\cos⁡15^{\circ}\cdot\cos⁡75^{\circ}}{\cos⁡ 15^{\circ}}\stackrel{(3)}=\cr \stackrel{(3)}=&\cos⁡15^{\circ}-\cos⁡ 75^{\circ}\stackrel{(4)}=\cr \stackrel{(4)}=&-2 \sin45^{\circ}\sin30^{\circ}\stackrel{(5)}=\cr \stackrel{(5)}=&-2\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=-\frac{\sqrt2}{2} \end{aligned} V ktorom kroku svojho riešenia urobila Dorota chybu?

Answer 1: 

Chyba je v kroku (2). Správne zjednodušenie by malo byť: $$ \frac{(1-\sin^215^{\circ})+\cos⁡15^{\circ}\cdot\left(\sin^2 37^{\circ}\,30^{'}-\cos^2 37^{\circ}\,30^{'}\right)}{\cos15^{\circ}}=\frac{\cos^215^{\circ}+\cos⁡15^{\circ}\cdot\cos⁡75^{\circ}}{\cos⁡15^{\circ}}. $$

Answer 2: 

Chyba je v kroku (3). Rovnosť $$\frac{\cos^215^{\circ}-\cos15^{\circ}\cdot\cos75^{\circ}}{\cos15^{\circ}}=\cos15^{\circ}-\cos75^{\circ}$$ neplatí pre $\cos15^{\circ}=0$. Zlomok nemožno zjednodušiť bez zohľadnenia tejto podmienky.

Answer 3: 

Chyba je v kroku (4). Použila nesprávny goniometrický vzťah. Správna úprava by mala byť: \begin{aligned} \cos⁡15^{\circ}-\cos⁡75^{\circ}&=-2\sin\frac{15^{\circ}+75^{\circ}}{2}\sin⁡\frac{15^{\circ}-75^{\circ}}{2}\cr &=-2\sin⁡45^{\circ}\sin⁡(-30^{\circ})=2\sin⁡45^{\circ}\sin⁡30^{\circ} \end{aligned}

Answer 4: 

Chyba je v kroku (4). Použila nesprávny goniometrický vzťah. Správna úprava by mala byť: \begin{aligned} \cos⁡15^{\circ}-\cos⁡75^{\circ}&=2\sin\frac{15^{\circ}+75^{\circ}}{2}\cos⁡\frac{15^{\circ}-75^{\circ}}{2}=\cr &=2\sin⁡45^{\circ}\cos⁡(-30^{\circ})=2\sin⁡45^{\circ}\cos⁡30^{\circ} \end{aligned}

Answer 5: 

Chyba je v kroku (5). Správne zjednodušenie by malo byť: $$-2\sin45^{\circ}\sin30^{\circ}=-2\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=-\frac{\sqrt6}{2}$$

Fixed Answer: 
All Fixed
Correct Answer: 
Answer 3
Hint: 

Dorota urobila chybu v kroku (4). Mala použiť správny vzťah pre rozdiel goniometrických hodnôt: $$\cos\alpha-\cos \beta=-2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$ Správne riešenie je: \begin{aligned} &\frac{1+\cos 15^{\circ}\cdot\sin^2 37^{\circ}\,30^{'}-\sin^2 15^{\circ}-\cos 15^{\circ}\cdot\cos^2 37^{\circ}\,30^{'}}{\cos 15^{\circ}}=\cr =&\frac{(1-\sin^2 15^{\circ})+\cos⁡15^{\circ}\cdot\left(\sin^2 \,37^{\circ}\,30^{'}-cos^2 \,37^{\circ}\,30^{'}\right)}{\cos⁡15^{\circ}}=\cr =&\frac{\cos^2 15^{\circ}-\cos15^{\circ}\cdot\cos75^{\circ}}{\cos 15^{\circ}} =\cos15^{\circ}-\cos 75^{\circ}=\cr =&-2 \sin⁡45^{\circ}\sin⁡\left(-30^{\circ}\right)=2\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt2}{2} \end{aligned}