Michaela, Gabriela a Zuzana dostali za úlohu previesť desatinné číslo $$x=12{,}3\overline{45}$$ na zlomok.
Michaela vyriešila úlohu v nasledujúcich krokoch:
(1) Najprv vynásobila rovnicu číslom $1\,000$ a dostala druhú rovnicu pre $x$: $$\begin{aligned} x&=12{,}3\overline{45}\cr 1\,000x&=12\,345{,}\overline{45}\end{aligned}$$
(2) Potom Michaela odpočítala prvú rovnicu od druhej: $$1\,000x-x=12\,345{,}\overline{45}-12{,}3\overline{45}$$
(3) Následne rovnicu zjednodušila: $$999x=12\,333$$ (4) Nakoniec Michaela vyjadrila $x$ ako zlomok: $$x=\frac{12\,333}{999}=\frac{4\,111}{333}$$
Gabriela postupovala takto:
(1) Najprv vytvorila dve rovnice. Prvú vynásobením rovnice $x=12{,}3\overline{45}$ číslom $10$: $$10x=123{,}\overline{45}.$$ Druhú vynásobením rovnice $x=12{,}3\overline{45}$ číslom $1\,000$: $$1\,000x=12\,345{,}\overline{45}.$$
(2) Potom Gabriela odčítala prvú rovnicu od druhej: $$1\,000x-10x=12\,345{,}\overline{45}-123{,}\overline{45}$$
(3) Zjednodušením Gabriela získala rovnicu bez desatinných miest: $$990x=12\,222$$ (4) Vyjadrila $x$ ako zlomok: $$x=\frac{12\,222}{990}=\frac{679}{55}$$
Zuzana postupovala takto: (1) Vytvorila tiež dve rovnice. Prvú vynásobením rovnice $x=12{,}3\overline{45}$ číslom $10$: $$10x=123{,}\overline{45}.$$
Druhú vynásobením rovnice $x=12{,}3\overline{45}$ číslom $100$: $$100x=1\,234{,}\overline{54}.$$
(2) Ďalej Zuzana odčítala prvú rovnicu od druhej: $$100x-10x=1\,234{,}\overline{54}-123{,}\overline{45}$$
(3) Potom uvedenú rovnicu zjednodušila: $$90x=1\,111{,}09$$ (4) Nakoniec Zuzana vyjadrila $x$ ako zlomok: $$x=\frac{1\,111{,}09}{90}=\frac{111\,109}{9\,000}$$
Ktorá z nich vyriešila úlohu správne?
Michaela
Gabriela
Zuzana
Žiadna z nich
Každá z nich
Ak chceme previesť číslo $x$ s nekonečným periodickým rozvojom na zlomok, musíme určiť dva násobky $x$ tak, aby číslice za desatinnou čiarkou v oboch násobkoch boli rovnaké. Michaela a Zuzana nepostupovali podľa odporúčaného postupu.
Michaela urobila chybu v kroku (3), keď odčítala čísla $12\,345{,}\overline{45}$ a $12{,}3\overline{45}$. Rozdiel $12\,345{,}\overline{45}-12{,}3\overline{45}$ nie je číslo s konečným desatinným rozvojom a preto ho nemožno použiť na prevod $x$ na zlomok. Zuzana urobila chybu v kroku (1), keď vynásobila rovnicu $x=12{,}3\overline{45}$ číslom $100$. Aj keby Zuzana určila $100x$ správne, rozdiel medzi $100x$ a $10x$ by bol stále číslom s nekonečným desatinným rozvojom a preto ho opäť nemožno použiť na prevod $x$ na zlomok.