Členy postupnosti II

Anna, Tomáš a Peter vyriešili nasledujúcu úlohu:

Tri po sebe idúce členy aritmetickej postupnosti $(a_n )$ sú: $$x,~y-4~,y$$ Súčet týchto členov je rovný $6$. Vypočítajte tieto členy postupnosti.

Tomáš použil vzorec pre súčet členov aritmetickej postupnosti $$ S_n=\frac{n}{2} (a_1+a_n ) $$ kde $n$ je počet členov, ktoré treba sčítať, $a_1$ je prvý člen a $a_n$ je posledný člen, ktorý treba sčítať. Vedel tiež, že ak $x$, $y-4$, $y$ sú tri po sebe idúce členy aritmetickej postupnosti, potom $$ y-4=\frac{x+y}{2}$$ a tak vyriešil sústavu rovníc: $$ \begin{gather} 6=\frac{3}{2} (x+y) \cr 2y-8=x+y \end{gather} $$ Dostal výsledky: $x=2$ a $y=4$. Členmi postupnosti sú $$ 2,~0,~4 $$

Peter si všimol, že tretí člen danej postupnosti je väčší ako druhý člen o $4$, čo znamená, že diferencia $d=4$.

Vyjadril prvý člen postupnosti: $$ x=y-4-4$$ a potom použil vzorec pre súčet aritmetickej postupnosti $$ S_n=\frac{n}{2} (2a_1+(n-1)d) $$ kde $n$ je počet členov, ktoré treba sčítať, $a_1$ je prvý člen postupnosti a $d$ je diferencia.

Pokračoval takto: $$ \begin{gather} 6=\frac{3}{2} (2(y-8)+2 \cdot 4) \cr y=6 \end{gather} $$ Členmi postupnosti sú: $$ -2,~2,~6 $$

Anna uvažovala takto: $$ \begin{gather} x+y-4+y=6 \cr x=10-2y \end{gather} $$ Ak by postupnosť mala byť aritmetická, potom musí platiť: $$ \frac{y-4}{x}=\frac{y}{y-4} $$ V uvedenej rovnici nahradila $10-2y$ za $x$ a odstránila zlomky:
$$y^2-8=(10-2y)y$$ Nakoniec takto získanú rovnicu upravila do všeobecného tvaru kvadratickej rovnice a vyriešila ju: $$ \begin{gather} 3y^2-10y-8=0 \cr y_{1,2}=\frac{10\pm \sqrt{10^2-4 \cdot 3 \cdot (-8) }}{6} \cr y_{1,2}=\frac{10\pm \sqrt{196}}{6} \cr y_1=4 \mathrm{~a~} y_2=-\frac{2}{3} \end{gather} $$ Pre $y=4$ sú členy postupnosti $2,~0,~4$.

Pre $y=-\frac{2}{3}$ sú členy postupnosti $\frac{34}{3},~-\frac{14}{3},~-\frac{2}{3}$.

Ktorý z nich postupoval pri riešení správne?