Michael vyriešil rovnicu s neznámou v menovateli $$ \frac{x+2}{x}+\frac{2x+1}{x+2}=\frac{−4x+4}{x^2+2x} $$ v nasledujúcich krokoch:
(1) Obe strany rovnice vynásobil výrazom $x(x+2)$: $$ (x+2)^2+x(2x+1)=−4x+4 $$
(2) Dvojčlen umocnil a odstránil zátvorky: $$ x^2+4x+4+2x^2+x=−4x+4 $$
(3) Spočítaním príslušných členov získal kvadratickú rovnicu a priviedol ju na súčin: $$\begin{aligned} 3x^2+9x&=0 \cr 3x(x+3)&=0 \end{aligned}$$
(4) Súčin činiteľov je nulový vtedy a len vtedy, ak jeden alebo viac činiteľov je nulových, takže Michael dospel k záveru, že rovnica má dve riešenia, a to $x=0$ a $x=-3$.
Je jeho riešenie správne? Ak nie, určte všetky jeho chybné kroky.
Nie, jeho riešenie nie je správne. Pri riešení rovnice s neznámou v menovateli máme dve možnosti: určiť podmienku na začiatku riešenia alebo vykonať na konci skúšku.
Nie, jeho riešenie nie je správne. K riešeniam $x=0$ a $x=-3$ mal pridať riešenie $x=-2$, ktoré vyplýva priamo zo zadania. (Nulový menovateľ).
Áno. Celé riešenie je úplne v poriadku.
Nie, chyba je v kroku (3). Mal vyriešiť kvadratickú rovnicu pomocou vzorca: $$ x_{1,2}=\frac{-9 \pm \sqrt{9^2-4\cdot 3\cdot 0}}{2} $$ Výpočtom by získal riešenia $x=0$ a $x=-9$.
V pôvodnej rovnici sú menovatele rovné nule, ak sú hodnoty $x=0$ a $x=-2$. Keďže delenie nulou je nedefinované, nemôžu byť riešením pôvodnej rovnice.
Ak neurčíme podmienky a začneme riešiť racionálnu rovnicu vynásobením oboch strán rovnice najmenším spoločným menovateľom, musíme vždy skontrolovať naše riešenia pôvodnej rovnice. Môžeme získať nesprávne riešenia. Vykonaním skúšky pre danú rovnicu zistíme, že má len jedno riešenie:
Pre $x=−3:~L=\frac{−3+2}{−3}+\frac{2\cdot (−3)+1}{−3+2}=\frac{1}{3}+5=\frac{16}{3},~P=\frac{−4\cdot (−3)+4}{(−3)^2+2\cdot (−3)}=\frac{16}{3}.$
Pre $x=0:~L=\frac{0+2}{0}+\frac{2 \cdot 0+1}{0+2} \mathrm{~(nedefinované)},~P=\frac{-4\cdot 0+4}{0^2+2 \cdot 0} \mathrm{~(nedefinované)}$
Vidíme, že $x=0$ nie je riešením.