Michaela, Gabriela i Zosia otrzymały zadanie przekształcenia ułamka dziesiętnego $$x=12{,}3\overline{45}$$ w ułamek.
Michaela rozwiązała problem w następujących krokach:.
(1)Po pierwsze, Michaela utworzyła drugie równanie, mnożąc równanie dla $x$ przez $1\,000$: $$\begin{aligned} x&=12{,}3\overline{45}\cr 1\,000x&=12\,345{,}\overline{45}\end{aligned}$$
(2) Następnie Michaela odjęła pierwsze równanie od drugiego: $$1\,000x-x=12\,345{,}\overline{45}-12{,}3\overline{45}$$
(3)Michaela uprościła powyższe równanie i otrzymała równanie bez ułamków dziesiętnych: $$999x=12\,333$$
(4)Na koniec Michaela wyraziła $x$ jako ułamek:
$$x=\frac{12\,333}{999}=\frac{4\,111}{333}$$
Gabriela wykonała następujące kroki:.
(1) Po pierwsze, Gabriela utworzyła dwa równania. Pierwsze poprzez pomnożenie równania $x=12{,}3\overline{45}$ przez $10$: $$10x=123{,}\overline{45}.$$ Drugi przez pomnożenie równania $x=12{,}3\overline{45}$ przez $1\,000$: $$1\,000x=12\,345{,}\overline{45}.$$
(2) Następnie Gabriela odjęła pierwsze równanie od drugiego: $$1\,000x-10x=12\,345{,}\overline{45}-123{,}\overline{45}$$
(3) Upraszczając, Gabriela wyprowadziła równanie bez ułamków dziesiętnych: $$990x=12\,222$$
(4) Wyraziła $x$ jako ułamek: $$x=\frac{12\,222}{990}=\frac{679}{55}$$
Susan kontynuowała w następujący sposób:.
(1)Stworzyła również dwa równania. Pierwsze poprzez pomnożenie równania $x=12{,}3\overline{45}$ przez $10$: $$10x=123{,}\overline{45}.$$ Drugi przez pomnożenie równania $x=12{,}3\overline{45}$ przez $100$: $$100x=1\,234{,}\overline{54}.$$
(2)Następnie Susan odjęła pierwsze równanie od drugiego: $$100x-10x=1\,234{,}\overline{54}-123{,}\overline{45}$$
(3)Następnie uprościła powyższe równanie i uzyskała równanie bez ułamków dziesiętnych: $$90x=1\,111{,}09$$
(4) Na podstawie ostatniego równania Susan wyraziła $x$ jako ułamek: $$x=\frac{1\,111{,}09}{90}=\frac{111\,109}{9\,000}$$
Która z nich rozwiązał problem poprawnie?
Michaela
Gabriela
Susan
Żadna z nich
Wszystkie
Aby przekształcić liczbę $x$ z nieskończonym rozwinięciem okresowym na ułamek, musimy wyznaczyć dwie wielokrotności liczby $x$ takie, że cyfry po przecinku w obu wielokrotnościach są takie same. Michaela i Susan nie zastosowały się do zalecanej procedury.
Michaela popełniła błąd w kroku (3), odejmując liczby $12\,345{,}\overline{45}$ i $12{,}3\overline{45}$. Różnica $12\,345{,}\overline{45}$ i $12{,}3\overline{45}$ nie jest liczbą o rozwinięciu dziesiętnym skończonym, a zatem nie można jej użyć do zamiany liczby $x$ na ułamek. Zosia popełniła błąd w kroku (1), mnożąc równanie $x=12{,}3\overline{45}$ dla $x$ przez $100$. Nawet gdyby Susan poprawnie wyznaczyła $100x$, różnica między $100x$ a $10x$ nadal byłaby liczbą z nieskończonym rozwinięciem dziesiętnym, a zatem ponownie nie można jej użyć do konwersji $x$ na ułamek.