Wyrazy ciągu II

Anna, Tomek i Piotr rozwiązali następujące zadanie:

Dane są trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego $(a_n )$ : $$x,~y-4~,y$$

Suma tych wyrazów wynosi $6$. Oblicz te wyrazy ciągu.

Tomek użył wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego

$$ S_n=\frac{n}{2} (a_1+a_n ) $$ gdzie $n$ to liczba składników do dodania, $a_1$ to pierwszy składnik, a $a_n$ to ostatni składnik do zsumowania. Wiedział też, że jeśli $x$, $y-4$, $y$ są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to $$ y-4=\frac{x+y}{2} $$ i w ten sposób rozwiązał układ równań: $$ \begin{gather} 6=\frac{3}{2} (x+y) \cr 2y-8=x+y \end{gather} $$ Otrzymał wyniki: $x=2$ i $y=4$. Wyrazy ciągu to $$ 2,~0,~4 $$

Piotr zauważył, że trzeci wyraz podanego ciągu jest większy od drugiego wyrazu o $4$, co oznacza, że ​​różnica ciągu $d=4$.

Wyraził pierwszy wyraz ciągu:

$$ x=y-4-4 $$ a następnie skorzystał ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego $$ S_n=\frac{n}{2} (2a_1+(n-1)d) $$ gdzie $n$ to liczba wyrazów do dodania, $a_1$ to pierwszy wyraz w ciągu, a $d$ to różnica.

Kontynuował w ten sposób: $$ \begin{gather} 6=\frac{3}{2} (2(y-8)+2 \cdot 4) \cr y=6 \end{gather} $$ Wyrazy ciągu to: $$ -2,~2,~6 $$

Anna rozumowała w ten sposób: $$ \begin{gather} x+y-4+y=6 \cr x=10-2y \end{gather} $$ Jeżeli ciąg miałby być arytmetyczny, to musi spełniać: $$ \frac{y-4}{x}=\frac{y}{y-4} $$ W powyższym równaniu zastąpiła $x$ przez $10-2y$ i wyeliminowała ułamki: $$y^2-8=(10-2y)y$$ Na koniec otrzymane w ten sposób równanie przekształciła na postać standardową równania kwadratowego i rozwiązała je:

$$ \begin{gather} 3y^2-10y-8=0 \cr y_{1,2}=\frac{10\pm \sqrt{10^2-4 \cdot 3 \cdot (-8) }}{6} \cr y_{1,2}=\frac{10\pm \sqrt{196}}{6} \cr y_1=4 \mathrm{~i~} y_2=-\frac{2}{3} \end{gather} $$ Dla $y=4$ wyrazy ciągu wynoszą $2,~0,~4$.

Dla $y=-\frac{2}{3}$ wyrazy ciągu to $\frac{34}{3},~-\frac{14}{3},~-\frac{2}{ 3}$.

Który z nich poprawnie rozwiązał zadanie?